Симметрическая группа

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества $X$$X$ (то есть биекций $X\to <!--\; \to \; -->X$$X\to X$) относительно операции композиции.

Граф Кэли симметрической группы S₄

Таблица Кэли симметрической группы S₃
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Таблица несимметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрическая группа множества $X$$X$ обычно обозначается $S(X)$$S(X)$. Если $X=\{1,2,...,n\}$$X=\{1,2,...,n\}$, то $S(X)$$S(X)$ также обозначается через $S_n$$S_{n}$. Поскольку для равномощных множеств ($|X|=|Y|$$|X|=|Y|$) изоморфны и их группы перестановок ($S(X)\cong <!--\; \cong \; -->S(Y)$$S(X)\cong S(Y)$), то для конечной группы порядка $n$$n$ группу её перестановок отождествляют с $S_n$$S_{n}$.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка $\mathrm{i}\mathrm{d}(x)=x$$\mathrm {id} (x)=x$.

Группы перестановокПравить

Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества $X$$X$  называют подгруппы симметрической группы $S(X)$$S(X)$ . Степенью группы в таком случае называется мощность $X$$X$ .

Каждая конечная группа $G$$G$  изоморфна некоторой подгруппе группы $S(G)$$S(G)$  (теорема Кэли).

СвойстваПравить

Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: $|S_n|=n!$$|S_{n}|=n!$ . При $n⩾<!--\; ⩾\; -->3$$n\geqslant 3$  симметрическая группа $S_n$$S_{n}$  некоммутативна.

Симметрическая группа $S_n$$S_{n}$  допускает следующее задание:

$⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}|{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2,({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{i+1}{)}^3,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i\text{if}|i-<!--\; -\; -->j|>1⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle$ .

Можно считать, что ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i$$\sigma_i$  переставляет $i$$i$  и $i+1$$i+1$ . Максимальный порядок элементов группы $S_n$$S_{n}$  — функция Ландау.

Группы $S_1,S_2,S_3,S_4$$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$  разрешимы, при $n⩾<!--\; ⩾\; -->5$$n\geqslant 5$  симметрическая группа $S_n$$S_{n}$  является неразрешимой.

Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае $n=6$$n=6$  группа $S_6$$S_6$  имеет ещё один внешний автоморфизм^[en]. В силу этого и предыдущего свойства при $n⩾<!--\; ⩾\; -->3,n\ne <!--\; \ne \; -->6$$n\geqslant 3,n\neq 6$  все автоморфизмы $S_n$$S_{n}$  являются внутренними, то есть каждый автоморфизм $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)$$\alpha(x)$  имеет вид $g^{-<!--\; -\; -->1}xg$$g^{-1}xg$  для некоторого $g\in <!--\; \in \; -->S_n$$g\in S_n$ .

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы $S_n$$S_{n}$  равно числу разбиений числа $n$$n$ . Множество транспозиций $(12),(23),...,(n-<!--\; -\; -->1n)$$(12),(23),...,(n-1 \ n)$  является порождающим множеством $S_n$$S_{n}$ . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками $(12),(\mathrm{12...}n)$$(12),(12...n)$ , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при $n⩾<!--\; ⩾\; -->3$$n\geqslant 3$ . Коммутантом $S_n$$S_{n}$  является знакопеременная группа $A_n$$A_{n}$ ; причём при $n\ne <!--\; \ne \; -->4$$n\neq 4$  $A_n$$A_{n}$  — единственная нетривиальная нормальная подгруппа $S_n$$S_{n}$ , а $S_4$$S_4$  имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

ПредставленияПравить

Любая подгруппа $G$$G$  группы перестановок $S_n$$S_{n}$  представима группой матриц из $SL(n,\mathbb{Z})$$SL(n,\mathbb {Z} )$ , при этом каждой перестановке $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}:i\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(i)$$\pi: i\to\pi (i)$  соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках $(i,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(i))$$(i,\pi(i))$  равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка $(231)$$(231)$  представляется следующей матрицей $3\times <!--\; \times \; -->3$$3\times 3$ :

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе $A_n$$A_{n}$ .

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна $S_5$$S_5$ , а группа вращений куба изоморфна $S_4$$S_4$ .

См. такжеПравить

• Группа кос

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал-Пресс, 2001.
• Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М. издательство=Физматлит, 2004.
• Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
• Постников М. М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.