Группа вращений

Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$. По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц $3\times <!--\; \times \; -->3$$3\times 3$ с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$${\mathrm {SO}}(3)$).

СвойстваПравить

• Все группы вращений $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$${\mathrm {SO}}(n)$ , в том числе $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$${\mathrm {SO}}(3)$  и $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$$\mathrm {SO} (2)$ , являются группами Ли.
• Группы вращений $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$${\mathrm {SO}}(3)$  и вообще $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$${\mathrm {SO}}(n)$  при $n>2$$n > 2$  некоммутативны.
• Группа $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$${\mathrm {SO}}(3)$  диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором $v$$v$ ), проходящей через центр координат, и углом $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$\varphi \in [-\pi,\pi]$ . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}v$$\varphi v$  и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  и $-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$-\pi$  соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
• Универсальная накрывающая группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$${\mathrm {SO}}(3)$  является специальной унитарной группой $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$${\mathrm {SU}}(2)$ , или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

Вариации и обобщенияПравить

Иногда группами вращений называют специальную ортогональную группу $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$${\mathrm {SO}}(n)$  — группу вращения $n$$n$ -мерного евклидова пространства. Особым случай является группа вращений плоскости $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$$\mathrm {SO} (2)$  или U(1); в отличие от случая вращения трёхмерного пространства, она является коммутативной.

См. такжеПравить

• Угловой момент
• Углы Эйлера
• Твёрдое тело

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.