Совершенная группа

Эта статья о свойстве групп, связанном с автоморфизмами; о свойстве, связанном с извлечением корня см. делимая группа.

Другое значение этого термина: группа, совпадающая со своим коммутантом

Совершенная группа ― группа $G$$G$, такая что отображение $G\to <!--\; \to \; -->Aut(G)$$G\to Aut(G)$ является изоморфизмом. Это отображение посылает элемент $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$ в автоморфизм сопряжения $s_g:h\to <!--\; \to \; -->gh{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$s_{g}:h\to ghg^{-1}$. Инъективность этого отображения равносильна тривиальности центра, а сюръективность — тому, что каждый автоморфизм является внутренним.

Примерами являются симметрические группы $S_n$$S_{n}$ при $n\ne <!--\; \ne \; -->2,6$$n\neq 2,6$ (теорема Гёльдера); при этом группа $S_2={\mathbb{Z}}_2$$S_{2}=\mathbb {Z} _{2}$ имеет нетривиальный центр, а у группы $S_6$$S_6$ существует внешний автоморфизм^[en].

Автоморфизмы простой группы образуют почти простую группу, а автоморфизмы неабелевой простой группы — совершенную группу.

Не любая группа, изоморфная своей группе автоморфизмов, является совершенной — необходимо, чтобы изоморфизм осуществлялся отображением сопряжения. Примером группы, для которой $G=Aut(G)$$G=Aut(G)$, но которая не является совершенной, является группа диэдра $D_4$$D_{4}$.

ЛитератураПравить

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 
• Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8  (chapter 7, in particular theorems 7.15 and 7.17).

СсылкиПравить

• Joel David Hamkins^[en]: How tall is the automorphism tower of a group?