Таблица умножения

Табли́ца умноже́ния, она же табли́ца Пифаго́ра — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение. Используется для обучения школьников умножению.

ИсторияПравить

Таблица умножения периода Сражающихся царств, (Китай, 305 год до н. э.)

Старейшая известная таблица умножения обнаружена в Древнем Вавилоне и имеет возраст примерно 4000 лет. Она основана на шестидесятеричной системе счисления^[1]. Старейшая десятеричная таблица умножения найдена в Древнем Китае и датируется 305 годом до н. э.^[1]

Иногда изобретение таблицы умножения приписывают Пифагору, в честь которого она названа в различных языках, включая французский, итальянский и русский^[2].

В 493 году Викторий Аквитанский создал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50^[3].

В России первая таблица умножения была издана в 1682 году в первой печатной математической книге на русском языке, называвшейся «Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи…» и содержавшей таблицу умножения пар чисел от $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $1\cdot 1$ до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $100\cdot 100$ , записанных славянскими цифрами^[4]. По экземпляру этой книги хранится, например, в РГБ^[5] и в Научной библиотеке МГУ^[6].

Джон Лесли в книге The Philosophy of Arithmetic (1820)^[7] опубликовал таблицу умножения чисел до 99, позволявшую перемножать цифры парами. Он же рекомендовал ученикам заучивать таблицу умножения до 25.

ИзучениеПравить

В своё время введение заучиваемой наизусть таблицы умножения революционизировало устный и письменный счёт. До этого использовались разные хитрые способы вычисления произведений однозначных чисел, которые сильно замедляли весь процесс и служили источником дополнительных ошибок.

В российских школах значения традиционно доходят до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $10\cdot 10$ . В Великобритании до $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $12\cdot 12$ , что связано в том числе с единицами английской системой мер длины (1 фут = 12 дюймов) и денежного обращения (существовавшей до 1971 г.: 1 фунт стерлингов = 20 шиллингам, 1 шиллинг = 12 пенсам).

В Советском Союзе таблицу умножения обычно «задавали на лето» после 1-го класса, а закрепляли на занятиях во 2-м классе (в возрасте 8 лет). В российских школах чаще всего проходят во 2-м классе. По стандартам английского школьного образования таблица умножения должна быть выучена к возрасту 11 лет (планируется ужесточение требования до 9 лет).^[8]

Обычное представлениеПравить

Таблица умножения в десятичной системе
·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Расширенное представлениеПравить

Таблица умножения в десятичной системе
·	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Как найти результат по таблице умноженияПравить

Чтобы узнать результат произведения $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $4\cdot 8$ по таблице умножения, нужно найти четвёрку в левом столбце и восьмёрку в верхней строке, провести от 4 горизонтальную линию и от 8 вертикальную. Клетка, на которой линии встречаются, является произведением (в данном случае 32).

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

ПрименениеПравить

Помимо широко известного применения классической таблицы умножения для выработки практических навыков умножения натуральных чисел, её можно использовать в некоторых математических доказательствах, например при выводе формулы суммы кубов натуральных чисел или получении подобного выражения для суммы квадратов^[9].

ОбобщенияПравить

Наряду с таблицей умножения, в некоторых случаях бывают удобны таблицы сложения.

Таблица КэлиПравить

Таблица Кэли — в общей алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли. Имеет важное значение в дискретной математике, в частности, в теории групп, в которой в качестве операций рассматриваются умножение и сложение. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти центр группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

В высшей алгебре таблицы Кэли могут также использоваться для определения бинарных операций в полях, кольцах и других алгебраических структурах. Также они удобны при проведении действий в данных структурах.

Модулярная арифметика Править

Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число — поле. Это иллюстрируется таблицами умножения:

Таблица умножения в кольце вычетов по модулю 8

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

Таблица умножения в поле вычетов по модулю 5

·	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Jane Qiu. Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips (англ.) // Nature : journal. — 2014. — 7 January. — doi:10.1038/nature.2014.14482. Архивировано 22 января 2014 года.
↑ Например, в Farrar, John. An Elementary Treatise on Arithmetic (англ.). Архивная копия от 14 июня 2018 на Wayback Machine
↑ Maher, David W.; Makowski, John F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions (англ.) // Classical Philology. — 2001. — No. 4 (96). — P. 383.
↑ Депман И. А. История арифметики. Пособие для учителей. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР, 1959. — С. 196—198. — 28 000 экз.
↑ Считание удобное : Таблица умножения Архивная копия от 30 мая 2019 на Wayback Machine — карточка электронного каталога РГБ
↑ Считание удобное : Таблица умножения Архивная копия от 30 мая 2019 на Wayback Machine — карточка каталога Научной библиотеки МГУ
↑ Leslie, John. The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand (англ.). — Edinburgh: Abernethy & Walker, 1820.
↑ Children must learn times tables by age nine… Архивная копия от 18 декабря 2011 на Wayback Machine // Daily Mail, 17.12.2011
↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72. Архивная копия от 24 мая 2012 на Wayback Machine

[Qiu-1] ¹ ² Jane Qiu. Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips (англ.) // Nature : journal. — 2014. — 7 January. — doi:10.1038/nature.2014.14482. Архивировано 22 января 2014 года.

[2] Например, в Farrar, John. An Elementary Treatise on Arithmetic (англ.). Архивная копия от 14 июня 2018 на Wayback Machine

[3] Maher, David W.; Makowski, John F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions (англ.) // Classical Philology. — 2001. — No. 4 (96). — P. 383.

[4] Депман И. А. История арифметики. Пособие для учителей. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР, 1959. — С. 196—198. — 28 000 экз.

[5] Считание удобное : Таблица умножения Архивная копия от 30 мая 2019 на Wayback Machine — карточка электронного каталога РГБ

[6] Считание удобное : Таблица умножения Архивная копия от 30 мая 2019 на Wayback Machine — карточка каталога Научной библиотеки МГУ

[7] Leslie, John. The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand (англ.). — Edinburgh: Abernethy & Walker, 1820.

[8] Children must learn times tables by age nine… Архивная копия от 18 декабря 2011 на Wayback Machine // Daily Mail, 17.12.2011

[9] Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72. Архивная копия от 24 мая 2012 на Wayback Machine

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

·	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1