Фактормножество

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$ на множестве $X$$X$, обозначается $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/\!\sim$. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из $X$$X$ в множество классов эквивалентности $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/\!\sim$ называется факторотображением. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y\in <!--\; \in \; -->X$$\forall x,\;y\in X$, либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ однозначно определён некоторый класс из $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/\!\sim$, иными словами существует сюръективное отображение из $X$$X$ в $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/\!\sim$. Класс, содержащий $x$$x$, иногда обозначают $[x]$$[x]$.

Если множество снабжено структурой, то часто отображение $X\to <!--\; \to \; -->X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X\to X/\!\sim$ можно использовать, чтобы снабдить фактормножество $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/\!\sim$ той же структурой; например классы эквивалентности топологического пространства можно снабдить индуцированной топологией (факторпространство), классы эквивалентности алгебраической системы снабдить теми же операциями и отношениями (факторсистема).

Применения и примерыПравить

Если задано сюръективное отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ , тогда на множестве $X$$X$  задаётся отношение $x\sim <!--\; \sim \; -->x^{\prime }⟺<!--\; ⟺\; -->f(x)=f(x^{\prime })$$x\sim x'\iff f(x)=f(x')$ . Можно рассмотреть фактормножество $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/\!\sim$ . Функция $f$$f$  задаёт естественное взаимно-однозначное соответствие между $X/\sim <!--\; \sim \; -->$$X/\!\sim$  и $Y$$Y$ .

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Проективную плоскость $\mathbb{R}{P}^2$$\mathbb{R} P^{2}$  можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности $(x,y,z)\sim <!--\; \sim \; -->(-<!--\; -\; -->x,-<!--\; -\; -->y,-<!--\; -\; -->z)$$(x,\;y,\;z)\sim (-x,\;-y,\;-z)$ .

Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра $S^1\times <!--\; \times \; -->[0,1]$$S^{1}\times [0,\;1]$  по отношению эквивалентности $(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},0)\sim <!--\; \sim \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},1)$$(\varphi ,\;0)\sim (-\varphi ,\;1)$  ($\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->[-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]$$\varphi \in [-\pi ,\;\pi ]$  — угловая координата на окружности).

СвойстваПравить

Факторотображения q : X → Y описывается среди сюръективных отображений следующим свойством: если Z является каким-либо топологическим пространством и f : Y → Z является какой-либо функцией, то f является непрерывным тогда и только тогда, когда f ∘ q непрерывна.

 

Факторпространство X/~ вместе с факторотображением q : X → X/~ описывается следующим универсальным свойством: если g : X → Z является непрерывным отображением, таким что если из a ~ b следует g(a) = g(b) для всех a и b из X, то существует единственное отображение f : X/~ → Z, такое что g = f ∘ q. Мы говорим, что g спускается до факторотображения.

Непрерывные отображения, определённые на X/~ поэтому являются в точности такими отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определённых на X, которые удовлетворяют отношению эквивалентности (в смысле, что они переводят эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий обширно используется при изучении факторпространств.

Если дана непрерывная сюръекция q : X → Y, полезно иметь критерий, по которому можно определить, является ли q факторотображением. Два достаточных условия — q является открытым^[en] или закрытым отображением^[en]. Заметим, что эти условия являются лишь достаточными, но не необходимыми. Легко построить примеры факторотображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторотображение является открытым.

Совместимость с другими топологическими понятиямиПравить

• Отделимость
  • В общем случае факторпространства плохо себя ведут относительно аксиом отделимости. Свойства отделимости множества X не обязательно наследуются при X/~ и X/~ могут иметь свойства отделимости, не существующие в X.
  • X/~ является пространством T₁^[en] тогда и только тогда, когда любой класс эквивалентности ~ замкнут в X.
  • Если факторотображение открыто^[en], то X/~ является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ является замкнутым подмножеством произведения пространств X×X.
• Связность
  • Если пространство связно или линейно связно, то таковыми являются все его факторпространства.
  • Факторпространство односвязного или стягиваемого пространства не обязательно будет обладать этими свойствами.
• Компактность
  • Если пространство компактно, таковыми будут и все его факторпространства.
  • Факторпространство локально компактного пространства не обязательно локально компактно.
• Размерность пространства
  • Топологическая размерность факторпространства может быть больше (а может быть и меньше) размерности исходного пространства; заполняющие пространство кривые дают такие примеры.