Стягиваемое пространство

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на $X$$X$ гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

СвойстваПравить

Пространство $X$$X$  стягиваемо тогда и только тогда, когда существует $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$  такое, что $\{x_0\}$$\{x_{0}\}$  — деформационный ретракт пространства $X$$X$ .

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в $X$$X$  гомотопны, то $X$$X$  — стягиваемое пространство.

Конус $\mathrm{C}X$$\mathrm{C}X$  для данного пространства $X$$X$  — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство $X$$X$  может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, $X$$X$  стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция $\mathrm{C}X\to <!--\; \to \; -->X$${\mathrm {C}}X\to X$ .

Примеры и контрпримерыПравить

Стягиваемы $n$$n$ -мерное вещественное пространство ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — $n$$n$ -мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом $n$$n$ -мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение $n$$n$ -мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на $n+1$$n+1$ -мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ ), многообразие Мазура^[en] (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

ЛитератураПравить

• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 39—42. — 680 с.