Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

АксиомыПравить

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R₀, R₁, T_2½, T₅, T₆ и другие).

T₀Править

T₀ (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек $x$$x$  и $y$$y$  по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁Править

T₁ (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек $x$$x$  и $y$$y$  должна существовать окрестность точки $x$$x$ , не содержащая точку $y$$y$ , и окрестность точки $y$$y$ , не содержащая точку $x$$x$ . Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂Править

T₂ (аксиома Хаусдорфа, хаусдорфово пространство): для любых двух различных точек $x$$x$  и $y$$y$  должны найтись непересекающиеся окрестности $U(x)$$U(x)$  и $V(y)$$V(y)$ .

T₃Править

T₃: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любой точки $x$$x$  и её окрестности $U$$U$  существует окрестность $V$$V$ , такая, что $x\in <!--\; \in \; -->V\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{V}\subset <!--\; \subset \; -->U$$x\in V\subset\bar{V}\subset U$ . Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁. Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃.

T_3½Править

T_3½: для любого замкнутого множества $F$$F$  и не содержащейся в нём точки $a$$a$  существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция $f(x)$$f(x)$ , заданная на этом пространстве, принимающая значения от $0$$0$  до $1$$1$  на всем пространстве, причем $f(a)=0$$f(a)=0$  и $f(x)=1$$f(x)=1$  для всех $x$$x$ , принадлежащих $F$$F$ . Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T₁ включают в определение T_3½, а в определении вполне регулярного пространства не включает требование аксиомы T₁ (тогда в определение тихоновского пространства она включается.

T₄Править

T₄: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества $F$$F$  и его окрестности $U$$U$  существует окрестность $V$$V$ , такая, что $F\subset <!--\; \subset \; -->V\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{V}\subset <!--\; \subset \; -->U$$F\subset V\subset\bar{V}\subset U$  ($\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{V}$${\bar {V}}$  — замыкание $V$$V$ ). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T₁ и T₄. Иногда в определение T₄ включают требование выполнения T₁, а в определении нормального пространства не включается требование T₁.

СвойстваПравить

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

• $T_0$$T_{0}$ , $T_1$$T_{1}$  и $T_2$$T_{2}$  не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома $T_1$$T_{1}$ );
• из $T_1$$T_{1}$  следует $T_0$$T_{0}$ ;
• регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
• вполне регулярные пространства являются регулярными;
• нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
• компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

ЛитератураПравить

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• И. М. Виноградов. Отделимости аксиома // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев