Факторсистема

Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).

Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа, факторкольцо, факторалгебра являются факторсистемами над группой, кольцом, алгеброй над полем соответственно.

ОпределениеПравить

Для алгебраической системы $\mathfrak{A}=⟨<!--\; ⟨\; -->A,F,R⟩<!--\; ⟩\; -->$${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ , $F=⟨<!--\; ⟨\; -->f_1:A^{n_1}\to <!--\; \to \; -->A,\dots <!--\; \dots \; -->f_i:A^{n_i}\to <!--\; \to \; -->A,\dots <!--\; \dots \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ , $R=⟨<!--\; ⟨\; -->r_1\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A^{m_1},\dots <!--\; \dots \; -->r_i\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A^{m_i},\dots <!--\; \dots \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$  и бинарного отношения $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A\times <!--\; \times \; -->A$$\sigma \subseteq A \times A$ , являющегося конгруэнцией над $\mathfrak{A}$$\mathfrak A$ , то есть, стабильного относительно каждой из основных операций $f_i\in <!--\; \in \; -->F$$f_i \in F$  — из вхождения в отношение некоторого набора ${\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}}_{j\in <!--\; \in \; -->1\dots <!--\; \dots \; -->n_i}(a_j,b_j)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\forall_{j\in 1\dots{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma$  следует выполнение $(f(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->a_{n_i}),f(b_1,\dots <!--\; \dots \; -->b_{n_i}))\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$(f(a_1, \dots a_{n_i}), f(b_1, \dots b_{n_i})) \in \sigma$  — факторсистема строится как алгебраическая система $\mathfrak{A}/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\mathfrak A / \sigma$ , с носителем $A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$A/\sigma$  — фактормножеством над $A$$A$  относительно конгруэнции $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ , следующим набором операций:

$⟨<!--\; ⟨\; -->f_1^{\star <!--\; \star \; -->}:(A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{)}^{n_1}\to <!--\; \to \; -->A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->},\dots <!--\; \dots \; -->f_{n_i}^{\star <!--\; \star \; -->}:(A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{)}^{n_i}\to <!--\; \to \; -->A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->},\dots <!--\; \dots \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma, \dots \rangle$ 

и следующим набором отношений:

$⟨<!--\; ⟨\; -->r_1^{\star <!--\; \star \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->(A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{)}^{m_1},\dots <!--\; \dots \; -->r_{m_i}^{\star <!--\; \star \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->(A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{)}^{m_i},\dots <!--\; \dots \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle$ ,

где ${}^{\star <!--\; \star \; -->}$$^\star$  означает переход к классам смежности относительно конгруэнции $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ :

$f^{\star <!--\; \star \; -->}([a_1{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}},\dots <!--\; \dots \; -->[a_n{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}})=[f(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->a_n){]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$$f^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \dots a_n)]_\sigma$  для операций и

$r^{\star <!--\; \star \; -->}([a_1{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}},\dots <!--\; \dots \; -->[a_m{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}})\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}(b_1\in <!--\; \in \; -->[a_1{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}},\dots <!--\; \dots \; -->b_m\in <!--\; \in \; -->[a_m{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}})r(b_1,\dots <!--\; \dots \; -->b_m)$$r^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_m]_\sigma) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\sigma, \dots b_m\in[a_m]_\sigma) r(b_1, \dots b_m)$  для отношений

(класс смежности $[a{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$$[a]_\sigma$  — множество всех элементов, эквивалентных $a$$a$  относительно $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ : $\{b\in <!--\; \in \; -->A\mid <!--\; \mid \; -->(a,b)\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\}$$\{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}$ ).

Таким образом, факторсистема $\mathfrak{A}/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\mathfrak A / \sigma$  является однотипной с системой $\mathfrak{A}$$\mathfrak A$ . В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).

СвойстваПравить

Естественное отображение $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:A\to <!--\; \to \; -->A/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\phi: A \to A/\sigma$ , ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции: $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(a)=[a{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$$\phi(a) = [a]_\sigma$ , является гомоморфизмом из $\mathfrak{A}$$\mathfrak A$  в факторсистему $\mathfrak{A}/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\mathfrak A/\sigma$ .

Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:\mathfrak{A}(A,F,R)\to <!--\; \to \; -->{\mathfrak{A}}^{\prime }(A^{\prime },F^{\prime },R^{\prime })$$\phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R')$  и его ядерной конгурэнции ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=\{(x,y)\in <!--\; \in \; -->A\times <!--\; \times \; -->A|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(y)\}$$\sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\}$  естественное отображение ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\star <!--\; \star \; -->}:\mathfrak{A}/{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}\to <!--\; \to \; -->{\mathfrak{A}}^{\prime }$$\phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A'$  (то есть ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{\star <!--\; \star \; -->}([a{]}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}})=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(a)$$\phi^\star([a]_\sigma) = \phi(a)$ ) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  является сильным, то есть для каждого предиката из $r_k^{\prime }\in <!--\; \in \; -->R^{\prime }$$r'_k\in R'$  и любого набора элементов $a_1^{\prime },\dots <!--\; \dots \; -->a_n^{\prime }\in <!--\; \in \; -->A^{\prime }$$a'_1,\dots a'_n \in A'$  из утверждения $(a_1^{\prime },\dots <!--\; \dots \; -->a_n^{\prime })\in <!--\; \in \; -->r_k^{\prime }$$(a'_1,\dots a'_n) \in r'_k$  вытекает существование таких прообразов $a_1\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}{a}_1^{\prime },\dots <!--\; \dots \; -->a_n\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}{a}_n^{\prime }$$a_1 \in \phi^{-1}a'_1, \dots a_n \in \phi^{-1}a'_n$ , что $(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->a_n)\in <!--\; \in \; -->r_k$$(a_1,\dots a_n) \in r_k$ , то $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  является изоморфизмом. Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов. Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.

ЛитератураПравить

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Кон П. . Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. . Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
• Grätzer, George. . Universal Algebra. 2nd edition. — Springer, 2008. — 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2.