Сюръекция

Сюръе́кция или сюръекти́вное отображе́ние (от фр. sur «на, над» + лат. jacio «бросаю») — отображение множества $X$$X$ на множество $Y$$Y$ $(f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y)$$(f\colon X\to Y)$, при котором каждый элемент множества $Y$$Y$ является образом хотя бы одного элемента множества $X$$X$, то есть $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}y\in <!--\; \in \; -->Y\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X:y=f(x)$$\forall y\in Y\;\exists x\in X:y=f(x)$; иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ отображает $X$$X$ на $Y$$Y$ (инъективное отображение в общем случае отображает $X$$X$ в $Y$$Y$).

Сюръективная функция

Отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества $X$$X$ при отображении $f$$f$ совпадает с $Y$$Y$: $f(X)=Y$$f(X)=Y$. Также сюръективность функции $f$$f$ эквивалентна существованию правого обратного отображения к $f$$f$.

Строго говоря, понятие сюръекции $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ привязано к множеству $Y$$Y$: корректно говорить вместо обычно допускаемой вольности речи «сюръекция» точное «сюръекция на $Y$$Y$». Фактически понятно, что каждое отображение является сюръекцией на свой образ: если $Z=\{y:f(x)=y\}$$Z=\{y:f(x)=y\}$, то $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ — сюръекция на $Z$$Z$, поскольку формально также $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Z$$f\colon X\to Z$ по определению отображения.

Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.

ПримерыПравить

• $f:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->[-<!--\; -\; -->1;1],f(x)=\sin <!--\; \; -->x$$f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x$  — сюръективно.
• $f:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}_{+},f(x)=x^2$$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}$  — сюръективно.
• $f:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},f(x)=x^2$$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$  — не является сюръективным (например, не существует такого $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x\in \mathbb {R}$ , что $f(x)=-<!--\; -\; -->9$$f(x)=-9$ ).

ПрименениеПравить

• В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоённого пространства в базу расслоения).
• Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных может быть рассмотрена как сюръективная функция.

ОбобщенияПравить

• В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом в некоторых категориях эти понятия совпадают.

ЛитератураПравить

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.