Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, $f^{\prime }\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$$f'\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ не является дифференциальным уравнением.

Визуализация воздушного потока, рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса

Визуализация теплообмена в корпусе насоса, созданная путём решения уравнения теплопроводности

График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения являются частным случаем функциональных уравнений. В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных.

Терминология и классификацияПравить

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок входящих в него производных.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение ${\left(y^{″}\right)}^4+y^{\prime }+y^6+x^7=0$$\left(y''\right)^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0$  является уравнением второго порядка, четвёртой степени.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка $n$$n$  называется функция $y\left(x\right)$$y\left(x\right)$ , имеющая на некотором интервале $\left(a,b\right)$$\left(a,b\right)$  производные $y^{\prime }\left(x\right),y^{″}\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$$y'\left(x\right),y''\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$  до порядка $n$$n$  включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции $y\left(x\right)$$y\left(x\right)$  удается привести к квадратуре (то есть к виду $y=\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)dx$$y=\int f\left(x\right)\ dx$ , где $f\left(x\right)$$f \left( x \right)$  — элементарная функция), независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Рудольфом Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана Софьей Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределённых функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и так далее.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

ИсторияПравить

 

Исаак Ньютон

 

Готфрид Лейбниц

 

Леонард Эйлер

 

Жозеф-Луи Лагранж

 

Пьер-Симон Лаплас

 

Жозеф Лиувилль

 

Анри Пуанкаре

 

Софья Ковалевская

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравненияПравить

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

$F\left(x,y,y^{\prime },y^{″},...,y^{(n)}\right)=0$$F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0$  или $F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2},...,\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}\right)=0,$$F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}}y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x^{n}}}\right)=0,$ 

где $y=y(x)$$y=y(x)$  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной $x,$$x,$  штрих означает дифференцирование по $x.$$x.$  Число $n$$n$  называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядкаПравить

Основная статья: Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

$\begin{array}{c}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{array}(1),$${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$ 

где функции $P(t,x)$$P(t,x)$  и $Q(t,x)$$Q(t,x)$  определены и непрерывны в некоторой области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{\mathbb{R}}_{t,x}^2$$\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$ .

Дифференциальные уравнения в частных производныхПравить

Основная статья: Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

$F\left(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m,z,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_m},\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^2},\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2},\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2^2},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{n}z}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_m^n}\right)=0,$$F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial z}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}},\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n}}}\right)=0,$ 

где $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m$$x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}$  — независимые переменные, а $z=z(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m)$$z\!=z(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})$  — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравненияПравить

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

$p_n(x)y^{(n)}(x)+p_{n-<!--\; -\; -->1}(x)y^{(n-<!--\; -\; -->1)}(x)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+p_0(x)y(x)=r(x),$$p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x),$ 

где p_i(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, нелинейное уравнение математического маятника $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\sin <!--\; \; -->y=0$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}\sin y=0$  в случае малых амплитуд, когда sin y ≈ y, может рассматриваться как линейное уравнение гармонического осциллятора $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}y=0$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$ 

ПримерыПравить

• $y^{″}+9y=0$$y''+9y=0$  — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций $y=(C_1\cos <!--\; \; -->3x+C_2\sin <!--\; \; -->3x)$$y=(C_{1}\cos 3x+C_{2}\sin 3x)$ , где $C_1$$C_{1}$  и $C_2$$C_{2}$  — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
• Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=F(x,t),$$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,t),$  где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
• Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: $x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2)y=0.$$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0.$  Его решениями являются так называемые цилиндрические функции — функции Бесселя, Неймана, Ганкеля.
• Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: $\frac{du}{dx}=u^2+1.$${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$ 

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y.

• Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+t\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}=0.$${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$ 

• Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если $u=u(x,t)$$u=u(x,t)$  — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задаёт свойства струны:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}=a^2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}.$${\frac {\partial {}^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$ 

• Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:

$\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}=0.$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$ 

• Уравнение Кортевега — де Фриза, нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных третьего порядка, описывающее стационарные нелинейные волны, в том числе солитоны:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=6u\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{3}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^3}.$${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$ 

Важнейшие дифференциальные уравненияПравить

Обыкновенные дифференциальные уравненияПравить

• Уравнения в полных дифференциалах
• Второй закон Ньютона (классическая механика)
• Закон радиоактивного распада (ядерная физика)
• Уравнение Ван дер Поля (теория колебаний)

Уравнения в частных производныхПравить

• Уравнение Эйлера — Лагранжа (классическая лагранжева механика)
• Уравнения Гамильтона (классическая гамильтонова механика)
• Волновое уравнение
• Уравнения Максвелла (электромагнетизм)
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Пуассона
• Уравнение Эйнштейна (общая теория относительности)
• Уравнение Шредингера (квантовая механика)
• Уравнение диффузии
• Уравнение теплопроводности (термодинамика)
• Уравнение Кортевега-де Вриза (уединённые волны)
• Уравнения Навье-Стокса (течения вязкой жидкости)
• Уравнение Эйлера (невязкие течения газовых сред)
• Уравнение Линя-Рейсснера-Цяня (трансзвуковые нестационарные течения)
• Уравнения Лямэ (теория упругости)

См. такжеПравить

• Общее решение дифференциального уравнения
• Частное решение дифференциального уравнения
• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
• Особое решение
• Задача Коши
• Однородное дифференциальное уравнение
• Неоднородное дифференциальное уравнение
• Линейное дифференциальное уравнение
• Дифференциальное уравнение Бернулли
• Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
• Уравнение Риккати
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Квазидифференциальное уравнение
• Дробно-дифференциальное уравнение
• Интегро-дифференциальные уравнения
• Поле направлений

Программное обеспечениеПравить

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y, y)
• Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]

ЛитератураПравить

Энциклопедии и справочникиПравить

• Дифференциальные уравнения // Дебитор — Евкалипт. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 8).
• Дифференциальные уравнения : [арх. 10 ноября 2014] / И. П. Макаров // Математическая энциклопедия : в 5 т. / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д’Аламбера оператор — Кооперативная игра. — 552 с. — 1104 стб.
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
• Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
• Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
• Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

УчебникиПравить

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
• Диесперов В. Н. Лекции по дифференциальным уравнениям [текст]: учеб. пос. — М.: МФТИ, 2017. 242 с. ISBN 978-5-7417-0630-5.
• Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
• Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
• Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
• Умнов А. Е., Умнов Е. А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (pdf) (на портале автора)
• Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160.
• Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7.
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

ЗадачникиПравить

• Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — 3-е изд. — М.: Высшая школа, 1978.
• Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1989.
• Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

СсылкиПравить

• Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений» — EqWorld
• Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.
• Примеры решения дифференциальных уравнений
• Эксперсс-курс по дифференциальным уравнениям: пособие и видео-лекции Р. В. Шамина
• Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка — учебный фильм, производство Леннаучфильм.