Интегро-дифференциальные уравнения

Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной.

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(x,y,P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)])dy=f(x)$${L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])dy=f(x)$

где

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]=\frac{d^n\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{{dx}^n}+a_1(x)\frac{d^{n-<!--\; -\; -->1}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)}{{dx}^{n-<!--\; -\; -->1}}+...+a_n(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$${L}_{{n}}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{{n}}\varphi (x)}{{dx}^{{n}}}}+{a}_{{1}}(x){\frac {{d}^{{n-1}}\varphi (x)}{{dx}^{{n-1}}}}+...+{a}_{{n}}(x)\varphi (x)$ называется внешним дифференциальным оператором, а

$P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)]=\frac{d^m\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)}{{dy}^m}+b_1(y)\frac{d^{m-<!--\; -\; -->1}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)}{{dy}^{m-<!--\; -\; -->1}}+...+b_m(y)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)$${P}_{{m}}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{{m}}\varphi (y)}{{dy}^{{m}}}}+{b}_{{1}}(y){\frac {{d}^{{m-1}}\varphi (y)}{{dy}^{{m-1}}}}+...+{b}_{{m}}(y)\varphi (y)$ — внутренним дифференциальным оператором

$K(x,y,P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)])$$K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])$ — ядро интегро-дифференциального уравнения

Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.

Классификация интегро-дифференциальных уравненийПравить

Линейные интегральные уравненияПравить

Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(x,y)P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)]dy=f(x)$${L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=f(x)$ 

Уравнения ФредгольмаПравить

Основная статья: Интегро-дифференциальное уравнение Фредгольма

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования

Уравнения Фредгольма 1-родаПравить

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(x,y)P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)]dy=0$${L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=0$ 

Уравнения Фредгольма 2-родаПравить

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(x,y)P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)]dy=f(x)$${L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=f(x)$ 

Уравнения ВольтеррыПравить

Основная статья: Интегро-дифференциальное уравнение Вольтерры

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования

Уравнения Вольтерры 1-родаПравить

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{x}K(x,y)P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)]dy=0$${L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=0$ 

Уравнения Вольтерры 2-родаПравить

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{x}K(x,y)P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)]dy=f(x)$${L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{x}}K(x,y){P}_{{m}}[\varphi (y)]dy=f(x)$ 

Нелинейные интегральные уравненияПравить

Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:

$L_n[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)]-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}K(x,y,P_m[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y)])dy=f(x)$${L}_{{n}}[\varphi (x)]-\lambda \int _{{a}}^{{b}}K(x,y,{P}_{{m}}[\varphi (y)])dy=f(x)$ 

См. такжеПравить

• Интегральное уравнение

ЛитератураПравить

• Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007.