Стохастическое дифференциальное уравнение

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический (случайный) процесс. Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать как пример производной винеровского процесса). Однако существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс.

ИсторияПравить

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

ТерминологияПравить

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, но не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записана с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчислениеПравить

Броуновское движение (на языке математики — винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления (теория стохастических интегралов). В настоящее время используются две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно СДУ в форме Ито без труда можно переписать в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

Существование и единственность решенияПравить

Так же как и для обычных дифференциальных уравнений, важно знать имеет ли СДУ решение и, если имеет, единственно ли это решение. Приведем формулировку теоремы существования и единственности для уравнения Ито. Доказательство можно найти в Øksendal (2003, § 5.2).

Пусть решение принимает значения в $n$$n$ -мерном эвклидовом пространстве ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , где определён $m$$m$ -мерный случайный процесс $B$$B$ , описывающий броуновское движение;

Пусть $T>0$$T>0$ , и пусть

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}:{\mathbb{R}}^n\times <!--\; \times \; -->[0,T]\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n;$$\mu :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n}};$ 

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:{\mathbb{R}}^n\times <!--\; \times \; -->[0,T]\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{n\times <!--\; \times \; -->m};$$\sigma :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n\times m}};$ 

— измеримые функции, для которых существуют константы $C$$C$  и $D$$D$  такие, что

$|\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x,t)|+||\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(x,t)||\le <!--\; \le \; -->C(1+|x|);$${\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};$ 

$|\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x,t)-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(y,t)|+||\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(x,t)-<!--\; -\; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(y,t)||\le <!--\; \le \; -->D|x-<!--\; -\; -->y|;$${\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}{\big |}\leq D|x-y|;$ 

для всех $t\in <!--\; \in \; -->[0,T]$$t\in [0,T]$  и всех $x$$x$  и $y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n$$y\in {\mathbb {R}}^{n}$ , где

$|\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{|}^2=\underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_{ij}{|}^2.$$|\sigma |^{{2}}=\sum _{{i,j=1}}^{{n}}|\sigma _{{ij}}|^{{2}}.$ 

Пусть $Z$$Z$  — случайная переменная, независимая от $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -алгебры, генерируемой процессом $B_s$$B_{s}$ , $s\ge <!--\; \ge \; -->0$$s\geq 0$ , и имеющая конечный второй момент:

${\mathbb {E}}{\big [}|Z|^{{2}}{\big ]}<+\infty .$ 

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях

$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(X_t,t)\mathrm{d}t+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(X_t,t)\mathrm{d}{B}_t$${\mathrm {d}}X_{{t}}=\mu (X_{{t}},t)\,{\mathrm {d}}t+\sigma (X_{{t}},t)\,{\mathrm {d}}B_{{t}}$  для $t\in <!--\; \in \; -->[0,T];$$t\in [0,T];$ 

$X_t=Z;$$X_{{t}}=Z;$ 

имеет единственное (в смысле «почти наверное») и $t$$t$ -непрерывное решение $(t,\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\mid <!--\; \mid \; -->\to <!--\; \to \; -->X_t(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$(t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )$ , такое что $X$$X$  — адаптированный процесс к фильтрации $F_t^Z$$F_{t}^{Z}$ , генерируемое $Z$$Z$  и $B_s$$B_{s}$ , $s\le <!--\; \le \; -->t$$s\leq t$ , и

${\mathbb {E}}\left[\int \limits _{{0}}^{{T}}|X_{{t}}|^{{2}}\,{\mathrm {d}}t\right]<+\infty .$ 

Применение стохастических уравненийПравить

ФизикаПравить

В физике СДУ часто записывают в форме уравнения Ланжевена. Например, систему СДУ первого порядка можно записать в виде:

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}}_i=\frac{d{x}_i}{dt}=f_i(\mathbf{x})+\underset{m=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{g}_i^m(\mathbf{x}){\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_m(t),$${\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^{n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),$ 

где $\mathbf{x}=\{x_i|1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->k\}$${\mathbf {x}}=\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$  — набор неизвестных, $f_i$$f_{i}$  и $g_i$$g_i$  — произвольные функции, а ${\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_m$$\eta _{m}$  — случайные функции от времени, которые часто называют шумовыми членами. Такая форма записи используется, так как существует стандартная техника преобразования уравнения со старшими производными в систему уравнений первого порядка с помощью введения новых неизвестных. Если $g_i$$g_i$  — константы, то говорят, что система подвержена аддитивному шуму. Также рассматривают системы с мультипликативным шумом, когда $g(x)\propto <!--\; \propto \; -->x$$g(x)\propto x$ . Из этих двух рассмотренных случаев аддитивный шум — проще. Решение системы с аддитивным шумом часто можно найти используя только методы стандартого математического анализа. В частности, можно использовать обычный метод композиции неизвестных функций. Однако, в случае мультипликативного шума уравнение Ланжевена плохо определено в смысле обычного математического анализа и его необходимо интерпретировать в терминах исчисления Ито или исчисления Стратоновича.

В физике основным методом решения СДУ является поиск решения в виде плотности вероятности и преобразование первоначального уравнения в уравнение Фоккера — Планка. Уравнение Фоккера — Планка — дифференциальное уравнение в частных производных без стохастических членов. Оно определяет временную эволюцию плотности вероятности, также как уравнение Шрёдингера определяет зависимость волновой функции системы от времени в квантовой механике или уравнение диффузии задает временную эволюцию химической концентрации. Также решения можно искать численно, например с помощью метода Монте-Карло. Другие техники нахождения решений используют интеграл по путям, эта техника базируется на аналогии между статистической физикой и квантовой механикой (например, уравнение Фоккера-Планка можно преобразовать в уравнение Шрёдингера с помощью некоторого преобразования переменных), или решением обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов плотности вероятности.

СсылкиПравить

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

ЛитератураПравить

• Adomian, George. Stochastic systems (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. — (Mathematics in Science and Engineering (169)).
• Adomian, George. Nonlinear stochastic operator equations (англ.). — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomian, George. Nonlinear stochastic systems theory and applications to physics (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989. — (Mathematics and its Applications (46)).
• Øksendal, Bernt K.  (англ.) (рус.. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (англ.). — Berlin: Springer, 2003.
• Teugels, J. and Sund B. (eds.). Encyclopedia of Actuarial Science (англ.). — Chichester: Wiley, 2004. — P. 523—527.
• C. W. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences (англ.). — Springer, 2004. — P. 415.
• Thomas Mikosch. Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View (англ.). — Singapore: World Scientific Publishing, 1998. — P. 212.
• Bachelier, L.,. Théorie de la speculation (in French), PhD Thesis (англ.). — NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900.