Уравнение Кортевега — де Фриза

Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за (уравнение КдФ; также встречается написание де Вриза, де Вриса, де Фриса, Де Фриса; англ. Korteweg–de Vries equation) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Врисом в 1895 году.

Уравнение имеет вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+6u\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{3}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^3}=0$${\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0$.

РешенияПравить

Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

$u\left(x,t\right)=\frac{2{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^2}{{\cosh }^2<!--\; \; -->\left[\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\left(x-<!--\; -\; -->4{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}^{2}t-<!--\; -\; -->x_0\right)\right]}$$u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2}t-x_{0}\right)\right]}}$ ,

где $\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}$$\kappa$  — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость; $x_0$$x_{0}$  — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси x. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн^[en], описываемых эллиптическими интегралами:

$x-<!--\; -\; -->ct-<!--\; -\; -->x_0=\int <!--\; \int \; -->{\left(2E+c{u}^2-<!--\; -\; -->2u^3\right)}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}du$$x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2}}}du$ 

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы движения и представление ЛаксаПравить

Уравнение Кортевега — де Фриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид

$I_n={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{P}_{2n-<!--\; -\; -->1}(u,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{x}u,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_x^{2}u,\dots <!--\; \dots \; -->)\text{d}x$$I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^{2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,$ 

где $P_n$$P_{n}$  — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом:

${\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}$ 

Их можно получить, воспользовавшись представлением Лакса

$\frac{dL}{dt}=[P,L]$${\frac {dL}{dt}}=[P,L]$ 

посредством пары операторов

${\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}.\end{aligned}}$ 

Более того, можно показать, что уравнение Кортевега — де Фриза имеет бигамильтонову структуру.

Несколько первых интегралов движения:

• масса $\int <!--\; \int \; -->u\text{d}x,$$\int u\,{\text{d}}x,$ 
• импульс $\int <!--\; \int \; -->u^2\text{d}x,$$\int u^{2}\,{\text{d}}x,$ 
• энергия $\int <!--\; \int \; -->\left[2u^3-<!--\; -\; -->{\left({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{x}u\right)}^2\right]\text{d}x.$$\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$ 

ОбобщенияПравить

При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза^[en], имеющее вид

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+6u\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{3}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^3}=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}$${\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$ 

где параметр $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+6u\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{3}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^3}\right)=\pm <!--\; \pm \; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}$${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$ 

ЛитератураПравить

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Кортевега — де Фриса уравнение — статья из Физической энциклопедии
• Дж. Уизем. 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска // Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 443—448. — 622 с.
• Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — 1989. — 326 с.