Особое решение

Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чаще всего связанное с уравнениями не разрешенными относительно производной. Существует несколько определений особых решений, не всегда эквивалентных друг другу. Одно из наиболее распространенных в настоящее время определений следующее.

ОпределениеПравить

Рассмотрим уравнение

$F(x,y,y^{\prime })=0,(1)$$F(x,y,y')=0,\ \ \ (1)$ 

где $F(x,y,p)$$F(x,y,p)$  — $C^1$$C^1$ -гладкая функция в некоторой области $G\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{{\mathbb{R}}^3}_{(x,y,p)}$$G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)}$ . Решение $y=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x),x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{I}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{R},$$y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,$  называется особым решением уравнения (1), если каждая точка $(x_0,\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x_0)),x_0\in <!--\; \in \; -->\mathrm{I},$$(x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\in \mathrm {I} ,$  соответствующем ему интегральной кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Коши с начальным условием

$y(x_0)=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x_0),y^{\prime }(x_0)={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(x_0)$$y(x_{0})=\psi (x_{0}),\ \ \ y'(x_{0})=\psi '(x_{0})$ .

Другими словами, в каждой точке $(x,y)$$(x,y)$  особое решение касается другого решения, которое не совпадает с ним тождественно ни в какой сколь угодно малой окрестности этой точки.

СвойстваПравить

• Особое решение (точнее, его график) является огибающей семейства интегральных кривых уравнения (1).

• Дискриминантная кривая уравнения (1) — это множество (например, кривая или совокупность кривых, но также бывает и точкой или пустым множеством) на плоскости переменных $(x,y)$$(x,y)$ , задаваемое уравнениями $F(x,y,p)=F_p(x,y,p)=0$$F(x,y,p)=F_{p}(x,y,p)=0$ . Особое решение уравнения (1), если оно существует, всегда содержится в дискриминантной кривой этого уравнения. Дискриминантная кривая может состоять из нескольких кривых, обладающих разными свойствами, некоторые из них могут быть графиками особых решений, а некоторые могут и не быть. Обратное не верно: дискриминантная кривая не обязательно является решением уравнения (а если является, то не обязательно особым).

• Из сказанного выше следует, что для практического отыскания особых решений уравнения конкретного уравнения нужно сначала найти его дискриминантную кривую, а затем проверить, является ли она (каждая её ветвь, если их несколько) особым решением уравнения (1), или нет.

ПримерыПравить

1. Дискриминантная кривая уравнения Чибрарио $(y^{\prime }{)}^2=x$$(y')^{2}=x$  — координатная ось $x=0$$x = 0$  — является не решением, а геометрическим местом точек возврата его интегральных кривых.

2. Дискриминантная кривая уравнения $(y^{\prime }{)}^2-<!--\; -\; -->y^2=0$$(y')^{2}-y^{2}=0$  — координатная ось $y=0$$y=0$  — является решением этого уравнения, но его график не пересекается ни с какими другими интегральными кривыми этого уравнения, поэтому это решение не является особым.

 

Особые решения дифференциальных уравнений (жирные линии): уравнения Клеро (слева) и уравнения $(y^{\prime }{)}^2=y$$(y')^{2}=y$  (справа).

3. Простыми примерами дифференциальных уравнений, имеющих особые решения, являются уравнение Клеро и уравнение $(y^{\prime }{)}^2=y$$(y')^{2}=y$ , неособые решения которого задаются формулой $y=\frac{1}{4}(x-<!--\; -\; -->c{)}^2$$y={\frac {1}{4}}(x-c)^{2}$  с постоянной интегрирования $c$$c$ , а особое решение имеет вид $y=0$$y=0$ .

4. Дискриминантная кривая уравнения $(y^{\prime }{)}^2=4y^3(1-<!--\; -\; -->y)$$(y')^{2}=4y^{3}(1-y)$  состоит из двух непересекающихся ветвей: $y=1$$y=1$  и $y=0$$y=0$ . Обе они являются решениями этого уравнения. Однако первая из них является особым решением, а вторая — нет: в каждой точке линии $y=1$$y=1$  она касается какой-либо другой интегральной кривой этого уравнения, а к линии $y=0$$y=0$  интегральные кривые лишь приближаются асимптотически при $x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\to \infty$ .

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000.
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.: Физматлит, 2001.
• Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2004, 2007.
• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.