Функции Бесселя

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2)y=0,$$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,$

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

График функций Бесселя первого рода

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ и $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$(-\alpha )$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

ПримененияПравить

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.

ОпределенияПравить

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого родаПравить

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми $J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$J_{\alpha }(x)$ , являются решения, конечные в точке $x=0$$x=0$  при целых или неотрицательных $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ ):

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=\underset{m=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(m+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}.$$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.$ 

Здесь $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\Gamma(z)$  — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально $\frac{1}{\sqrt{x}}$${\frac {1}{{\sqrt {x}}}}$ , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  при $x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$x\to \infty$ ).

Ниже приведены графики $J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$J_{\alpha }(x)$  для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0,1,2$$\alpha =0,1,2$ :

 

Если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  не является целым числом, функции $J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$J_{\alpha }(x)$  и $J_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$J_{{-\alpha }}(x)$  линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  целое, то верно следующее соотношение:

$J_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{J}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x).$$J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).$ 

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы БесселяПравить

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , используя интегральное представление:

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->x\sin <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}.$$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau .$ 

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{i(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->x\sin <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}.$$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .$ 

Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является $2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$2\pi$ -периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  до $1$$1$ , где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$${\textstyle \varphi =-\pi }$ , окружность единичного радиуса и луч от $1$$1$  до $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$  при $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$${\textstyle \varphi =\pi }$ . Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{e}^{i(xsin(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{e^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}x(r-<!--\; -\; -->\frac{1}{r})}}{r^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}}dr.$$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\varphi )-\alpha \varphi )}d\varphi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r}})}}{{}r^{\alpha +1}}}dr.$ 

Нетрудно убедиться, что при целых $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  это выражение переходит в предыдущую формулу.

Функции НейманаПравить

Функции Неймана — решения $Y_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$Y_{\alpha }(x)$  уравнения Бесселя, бесконечные в точке $x=0$$x=0$ .

Эта функция связана с $J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$J_{\alpha }(x)$  следующим соотношением:

$Y_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)=\frac{J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->J_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)}{\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})},$$Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},$ 

где в случае целого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  берётся предел по $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

$y(x)=C_1{J}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)+C_2{Y}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x).$$y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).$ 

Ниже приведён график $Y_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$Y_{\alpha }(x)$  для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0,1,2$$\alpha =0,1,2$ :

 

В ряде книг функции Неймана обозначаются $N_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$N_{\alpha }(x)$ .

Сферические функции БесселяПравить

 

Сферические функции Бесселя первого рода, j_n(x), для n = 0, 1, 2

 

Сферические функции Бесселя второго рода, y_n(x), для n = 0, 1, 2

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных, уравнение на радиальную часть имеет вид

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2x\frac{dy}{dx}+\left(x^2-<!--\; -\; -->n(n+1)\right)y=0.$$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.$ 

Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя j_n и y_n, и связаны с обычными функциями Бесселя J_n и Неймана Y_n с помощью

${\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}$ 

y_n также обозначается n_n или η_n; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.

Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)

${\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}$ 

Несколько первых сферических функций Бесселя:

${\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}},\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}$ 

и Неймана:

${\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}$ 

Производящие функцииПравить

Производящие функции сферических функций Бесселя:

${\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}$ 

Дифференциальные соотношенияПравить

В следующих формулах f_n может быть заменено на j_n, y_n, h(1)
n, h(2)
n, где h(1)
n и h(2)
n — сферические функции Ханкеля, для n = 0, ±1, ±2, ...:

${\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}$ 

СвойстваПравить

ОртогональностьПравить

Пусть ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_1,{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_2$$\mu _{1},\mu _{2}$  — нули функции Бесселя $J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)$$J_{\alpha }(x)$ . Тогда:

$\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.$ .

АсимптотикаПравить

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})$  и неотрицательных $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  они выглядят так:

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)\to <!--\; \to \; -->\frac{1}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},$$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },$ 

$Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.$ ,

где $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов ($x\gg <!--\; \gg \; -->|{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2-<!--\; -\; -->1/4|$$x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$ ) формулы выглядят так:

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)\to <!--\; \to \; -->\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}}\cos <!--\; \; -->\left(x-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\right),$$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),$ 

$Y_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)\to <!--\; \to \; -->\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}}\sin <!--\; \; -->\left(x-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}\right).$$Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {{\frac {2}{\pi x}}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).$ 

Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:

$J_0\to <!--\; \to \; -->\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}}\cos <!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4})+\frac{1}{4x\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x}}\sin <!--\; \; -->(x-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4}).$$J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos(x-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{4x{\sqrt {2\pi x}}}}\sin(x-{\frac {\pi }{4}}).$ 

Гипергеометрический рядПравить

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(z)=\frac{(z/2{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)}{}_0{F}_1(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1;-<!--\; -\; -->z^2/4).$$J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).$ 

Таким образом, при целых $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функцияПравить

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

$e^{\frac{z}{2}\left(w-<!--\; -\; -->\frac{1}{w}\right)}=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{J}_n(z)w^n.$$e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.$ 

СоотношенияПравить

Формула Якоби — Ангера и связанные с нейПравить

Получается из выражения для производящей функции при $a=1$$a=1$ , $w=e^{i\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$w=e^{i\phi }$ :

$e^{iz\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=J_0(z)+2\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{J}_{2n}(z)\cos <!--\; \; -->(2n\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})+2i\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{J}_{2n-<!--\; -\; -->1}(z)\sin <!--\; \; -->(2n-<!--\; -\; -->1)\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}.$$e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .$ 

При $a=1$$a=1$ , $t=i{e}^{i\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$t=ie^{{i\phi }}$ :

$e^{iz\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=J_0(z)+2\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{i}^n{J}_n(z)\cos <!--\; \; -->(n\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}).$$e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).$ 

Рекуррентные соотношенияПравить

Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{x}{J}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }(x);$$J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x}}J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);$ 

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}(x)+J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}(x)=\frac{2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{x}{J}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x);$$J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);$ 

$J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1}(x)-<!--\; -\; -->J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}(x)=-<!--\; -\; -->2J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{\prime }(x)$$J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)$ .

Теорема сложенияПравить

Для любого целого n и комплексных $z_1$$z_{1}$ , $z_2$$z_{2}$  выполняется

$J_n(z_1+z_2)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{J}_k(z_1)J_{n-<!--\; -\; -->k}(z_2).$$J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{n-k}}(z_{2}).$ 

Интегральные выраженияПравить

Для любых $a$$a$  и $b$$b$  (в том числе комплексных) выполняется

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->at}{J}_n(bt)\mathrm{d}t=\frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a{)}^n}.$$\int _{0}^{\infty }e^{{-at}}J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.$ 

Частным случаем последней формулы является выражение

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->at}{J}_0(bt)\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$\int _{0}^{\infty }e^{{-at}}J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}.$ 

См. такжеПравить

• Цилиндрические функции
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя
• Луч Бесселя

ЛитератураПравить

• Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.