Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора — его использовали ещё в XIV веке в Индии, а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

ОпределениеПравить

1. Многочленом Тейлора функции $f(x)$$f(x)$  вещественной переменной $x$$x$ , дифференцируемой $k$$k$  раз в точке $a$$a$ , называется конечная сумма

$f(x)=\underset{n=0}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^n=f(a)+f^{\prime }(a)(x-<!--\; -\; -->a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^2+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^k$$f(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$ ,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при $x-<!--\; -\; -->a=h\to <!--\; \to \; -->0$$x-a=h\to 0$  верно $f(x)=f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot <!--\; \cdot \; -->h+O(h^2)\approx <!--\; \approx \; -->f(a)+f^{\prime }(a)\cdot <!--\; \cdot \; -->h=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->a)$$f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)$ .

При записи суммы использованы обозначение $f^{(0)}(x)=f(x)$$f^{(0)}(x)=f(x)$  и соглашение о произведении по пустому множеству: $0!=1$$0!=1$ , $(x-<!--\; -\; -->a{)}^0=1$$(x-a)^{0}=1$ .

2. Рядом Тейлора в точке $a$$a$  функции $f(x)$$f(x)$  вещественной переменной $x$$x$ , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки $a$$a$ , называется формальный степенной ряд

$f(x)=\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^n=\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x;a)$$f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)$  с общим членом ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_n(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->a{)}^n$$\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}$ , зависящим от параметра $a$$a$ .

Другими словами, рядом Тейлора функции $f(x)$$f(x)$  в точке $a$$a$  называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена $(x-<!--\; -\; -->a)$$(x-a)$ :

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-<!--\; -\; -->a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^2+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^n+\dots <!--\; \dots \; -->$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,$ .

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции $f(x)$$f(x)$  в окрестности точки $a$$a$  не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки $a$$a$ .

3. Рядом Тейлора в точке $a$$a$  функции $f(z)$$f(z)$  комплексной переменной $z$$z$ , удовлетворяющей в некоторой окрестности $U\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}$$U\subseteq \mathbb {C}$  точки $a$$a$  условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

$f(z)=\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-<!--\; -\; -->a{)}^n$$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}$ .

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса $R>0$$R>0$ , что в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$  ряд сходится к функции $f(z)$$f(z)$ .

4. В случае $a=0$$a=0$  ряд

$f(x)=\underset{n=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$ 

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функцияПравить

1. Функция $f(x)$$f(x)$  вещественной переменной $x$$x$  называется аналитической в точке $x=a$$x=a$ , если существуют такой радиус $R>0$$R>0$  и такие коэффициенты $c_k=c_k(a)=c_k(a;f)$$c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$ , $k=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$k=0,1,2,\dots \,$ , что $f(x)$$f(x)$  может быть представлена в виде сходящегося на интервале $(a-<!--\; -\; -->R;a+R)$$(a-R;a+R)$  степенного ряда: $\underset{k=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{(x-<!--\; -\; -->a)}^k$$\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,$ , то есть $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->(a-<!--\; -\; -->R;a+R)$$\forall x\in (a-R;a+R)$  $\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->$$\Rightarrow$  $\underset{n\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{(x-<!--\; -\; -->a)}^k=f(x)$$\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)$ .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд $\underset{k=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{(z-<!--\; -\; -->a)}^k$$\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$  на любом компактном подмножестве $K$$K$  области сходимости $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$  допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в $k$$k$ -ю производную функции $\underset{k=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_k{(z-<!--\; -\; -->a)}^k$$\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$  подставить $z=a$$z=a$ , то получится $c_k\cdot <!--\; \cdot \; -->k!$${c_{k}}\cdot k!$ .

Таким образом, для аналитической в точке $a$$a$  функции $f(z)$$f(z)$  для некоторого $R>0$$R>0$  всюду в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$  является верным представление $f(z)=\underset{k=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(z-<!--\; -\; -->a{)}^k$$f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}$ .

Следствие. Функция $f(x)$$f(x)$  вещественной переменной $x$$x$  является аналитической в точке $a$$a$  тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром $a$$a$  на некотором открытом интервале, содержащем точку $a$$a$ .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке $a$$a$  функции $f(x)$$f(x)$  вещественного переменного $x$$x$  её ряд Тейлора $\underset{k=0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^k$$\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$  сходиться к $f(x)$$f(x)$  всюду на каком-нибудь интервале $(a-<!--\; -\; -->R;a+R)$$(a-R;a+R)$ , то есть представима ли $f(x)$$f(x)$  этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности $a$$a$ .

Примеры. Функции вещественной переменной $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ , $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,$ , $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$  являются бесконечно дифференцируемыми в точке $x=0$$x=0$ , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром $a=0$$a=0$  тождественно равны нулю. Однако, для любого $R>0$$R>0$  в окрестности $(-<!--\; -\; -->R;+R)$$(-R;+R)$  точки $a=0$$a=0$  найдутся точки, в которых функции отличны от $0$$0$ . Таким образом, эти функции не являются в точке $a=0$$a=0$  аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ , предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция $\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{z^2}\right)$$\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ , является аналитической функцией комплексной переменной для всех $z\in <!--\; \in \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{C}}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}$$z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$ .

Для $z\ne <!--\; \ne \; -->0$$z \neq 0$  очевидно, что $\frac{d}{dz}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{z^2}\right)=\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{z^2}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{2}{z^3}\right)$${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$ .

Функция $f(x)$$f(x)$  для $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$x\in \mathbb {R}$  — это «исправленная» функция $\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{x^2}\right)$$\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$ , $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}$$x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ , дополненная пределами слева $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$  и справа $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0,x>0}{lim}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{1}{x^2}\right)=0$$\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$  в точке $x=0$$x=0$ .

Найдём производную функции $f(x)$$f(x)$  в точке $x=0$$x=0$ . По определению: $f^{\prime }(0)=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{lim}\frac{f(0+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)-<!--\; -\; -->f(0)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0,h\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{lim}\frac{f(h)-<!--\; -\; -->0}{h}=\frac{0}{0}=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0,h\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{lim}\frac{f^{\prime }(h)}{h^{\prime }}=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0,h\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{lim}\frac{2f(h)}{h^3}$$f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$ .

Поскольку для $x\in <!--\; \in \; -->(0;1)$$x\in (0;1)$  выполняется $0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}$ , то докажем, что для произвольного $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$$\alpha >0$  верно $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0,x>0}{lim}\frac{e^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}}}{x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}=0$$\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0$ .

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0,x>0}{lim}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->0,x>0}{lim}{x}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=0$$\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0$  не приводит к результату.

Выполним замену переменной: $\frac{1}{x}=t$${\frac {1}{x}}=t$ :

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0,x>0}{lim}\frac{e^{-<!--\; -\; -->\frac{1}{x}}}{x^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}=\underset{t\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{t^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{e^t}=\frac{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=\underset{t\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{t}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1}}{e^t}$$\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}$ .

Пусть $k=\lceil <!--\; \lceil \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\rceil <!--\; \rceil \; -->$$k=\lceil \alpha \rceil$ . Применяя правило Лопиталя $k$$k$  раз, в числителе получим либо (при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=k$$\alpha =k$ ) константу $k!$$k!$ , либо (при $\alpha <k$ ) бесконечно малую $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)\dots <!--\; \dots \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->k+1)t^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->k}$$\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}$ :

$\underset{t\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{t^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{e^t}=\frac{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=\dots <!--\; \dots \; -->=\underset{t\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)\dots <!--\; \dots \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->k+1)t^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->k}}{e^t}=0$$\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0$ .

Таким образом,

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0,h\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{lim}\frac{2f(h)}{h^3}=0$$f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0$ .

Найдём (для $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x\neq 0$ ) несколько начальных производных функции $f(x)$$f(x)$ :

$f^{\prime }(x)=\frac{2f(x)}{x^3}$$f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}$ 

$f^{″}(x)={\left(\frac{2f(x)}{x^3}\right)}^{\prime }=2\left(f^{\prime }(x)\frac{1}{x^3}+f(x){\left(\frac{1}{x^3}\right)}^{\prime }\right)=2\left(\frac{2f(x)}{x^3}\frac{1}{x^3}+f(x){\left(\frac{1}{x^3}\right)}^{\prime }\right)=2f(x)\left(\frac{2}{x^6}-<!--\; -\; -->\frac{3}{x^4}\right)$$f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)$ 

$f^{‴}(x)={\left(2f(x)\left(\frac{2}{x^6}-<!--\; -\; -->\frac{3}{x^4}\right)\right)}^{\prime }=4f(x)\left(\frac{2}{x^9}-<!--\; -\; -->\frac{3}{x^7}+\frac{6}{x^5}-<!--\; -\; -->\frac{6}{x^7}\right)$$f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)$ 

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение $f(x)$$f(x)$  на сумму целых отрицательных степеней $x$$x$ . Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, $\underset{x\to <!--\; \to \; -->0,x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}}{lim}{f}^{(k)}(x)=0$$\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$ .

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные $f(x)$$f(x)$  в точке $x=0$$x=0$ , обнаруживаем, что все производные в точке $x=0$$x=0$  равны нулю.

Область сходимости ряда ТейлораПравить

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке $a$$a$ ) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке $a$$a$ ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция $f(x)=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}$$f(x)={\frac {1}{1-x}}$  может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: $\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^k$${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$  (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция $\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}$${\frac {1}{1-x}}$  определена для всех действительных чисел, кроме точки $x=1$$x=1$ , то ряд $\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^k$$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$  сходится только при условии $|x|<1$ .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

$R=\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left|\frac{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}{\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}\right|=\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left|\frac{f^{(k)}(a)}{f^{(k+1)}(a)}(k+1)\right|$$R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|$ .

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию $e^x$$e^{x}$ . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен $R=\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\left|\frac{e^a}{e^a}(k+1)\right|=\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(k+1)=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty$ . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси $x$$x$  для любого параметра $a$$a$ .

4. От параметра — точки разложения $a$$a$  ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного $a$$a$ ) в ряд Тейлора функцию $f(x)=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}$$f(x)={\frac {1}{1-x}}$ : $f(x)=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->a}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{x-<!--\; -\; -->a}{1-<!--\; -\; -->a}\right)}^k$$f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}$ .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента $x$$x$ , при любых значениях $a$$a$  (кроме $a=1$$a=1$ ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

$\frac{1}{1-<!--\; -\; -->a}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(\frac{x-<!--\; -\; -->a}{1-<!--\; -\; -->a}\right)}^k=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{1-<!--\; -\; -->\left(\frac{x-<!--\; -\; -->a}{1-<!--\; -\; -->a}\right)}=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}$${\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}$ .

Область сходимости ряда может быть задана неравенством $\left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1$ . И теперь эта область зависит от $a$$a$ . Например, для $a=0$$a=0$  ряд сходится при $x\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->1;1)$$x\in (-1;1)$ . Для $a=0,5$$a=0{,}5$  ряд сходится при $x\in <!--\; \in \; -->(0;1)$$x\in (0;1)$ .

Формула ТейлораПравить

Предположим, что функция $f(x)$$f(x)$  имеет все производные до $n+1$$n+1$ -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку $x=a$$x=a$ . Найдем многочлен $P_n(x)$${P_{n}}(x)$  степени не выше $n$$n$ , значение которого в точке $x=a$$x=a$  равняется значению функции $f(x)$$f(x)$  в этой точке, а значения его производных до $n$$n$ -го порядка включительно в точке $x=a$$x=a$  равняются значениям соответствующих производных от функции $f(x)$$f(x)$  в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид $P_n(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{(x-<!--\; -\; -->a)}^k$${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}$ , то есть это $n$$n$ -я частичная сумма ряда Тейлора функции $f(x)$$f(x)$ . Разница между функцией $f(x)$$f(x)$  и многочленом $P_n(x)$${P_{n}}(x)$  называется остаточным членом и обозначается $R_n(x)=f(x)-<!--\; -\; -->P_n(x)$${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ . Формула $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$$f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$  называется формулой Тейлора. Остаточный член дифференцируем $n+1$$n+1$  раз в рассматриваемой окрестности точки $a$$a$ . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция $f(x)$$f(x)$  имеет $n+1$$n+1$  производную на отрезке с концами $a$$a$  и $x$$x$ , то для произвольного положительного числа $p$$p$  найдётся точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ , лежащая между $a$$a$  и $x$$x$ , такая, что $f(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-<!--\; -\; -->a{)}^k+{\left(\frac{x-<!--\; -\; -->a}{x-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right)}^p\frac{(x-<!--\; -\; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{)}^{n+1}}{n!p}{f}^{(n+1)}(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).$

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного членаПравить

В форме Лагранжа:

$R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1$ 

Вывод

Продифференцируем по $x$$x$  обе части формулы Тейлора $n$$n$  раз:

$\begin{array}{l}1)f(x{)}^{\prime }=f(a{)}^{\prime }+\underset{k=2}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a)}{(k-<!--\; -\; -->1)!}{(x-<!--\; -\; -->a)}^{k-<!--\; -\; -->1}+R_n(x{)}^{\prime }\\ 2)f(x{)}^{″}=f(a{)}^{″}+\underset{k=3}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a)}{(k-<!--\; -\; -->2)!}{(x-<!--\; -\; -->a)}^{k-<!--\; -\; -->2}+R_n(x{)}^{″}\\ ...\\ n-<!--\; -\; -->1)f(x{)}^{(n-<!--\; -\; -->1)}=f(a{)}^{(n-<!--\; -\; -->1)}+f^{(n)}(a)(x-<!--\; -\; -->a)+R_n(x{)}^{(n-<!--\; -\; -->1)}\\ n)f(x{)}^{(n)}=f^{(n)}(a)+R_n(x{)}^{(n)}\end{array}$${\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(x-a)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x)''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!}}{{(x-a)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1)}}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(x-a)+{R_{n}}{(x)^{(n-1)}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}}\end{array}}$ 

(Отсюда, в частности, видно, что $R_n(a)=R_n(a{)}^{\prime }=R_n(a{)}^{″}=...=R_n(a{)}^{(n)}=0$${R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0$  — это свойство остаточного члена в любой форме.)

По теореме Лагранжа (поскольку $f(x)$$f(x)$  соответствует условиям теоремы) существует такая точка $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  между $x$$x$  и $a$$a$  (то есть $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  не равно ни $x$$x$ , ни $a$$a$ ), что $f(x{)}^{(n)}-<!--\; -\; -->f^{(n)}(a)=f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{)}^{(n+1)}(x-<!--\; -\; -->a)$$f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)$ . Отсюда $R_n(x{)}^{(n)}=f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{)}^{(n+1)}(x-<!--\; -\; -->a)$${R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)$ . Продифференцируем последнее тождество ещё раз по $x$$x$  и получим $R_n(x{)}^{(n+1)}=f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{)}^{(n+1)}$${R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}$ .

Пусть остаточный член задан в виде $R_n(x)=\frac{f{(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})}^{(n+1)}{(x-<!--\; -\; -->a)}^{n+1}}{(n+1)!}$${R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}$ . Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке $x=a$$x=a$ , во-вторых, $R_n(x{)}^{(n+1)}=f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{)}^{(n+1)}$${R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}$ . В конце ещё можно сделать замену переменной: $\xi =a+\theta (x-a),\qquad 0<\theta <1$ . Формула выведена.

В форме Коши:

$R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1$ 

В интегральной форме:

$R_n(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}(x-<!--\; -\; -->t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt$$R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt$ 

Вывод

Методом интегрирования по частям получим $\begin{array}{l}{R}_n(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{(x-<!--\; -\; -->t)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{(x-<!--\; -\; -->t)}^{n}d{f}^{(n)}(t)=\frac{1}{n!}{\left({(x-<!--\; -\; -->t)}^n{f}^{(n)}(t)\right)|}_a^x-<!--\; -\; -->\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{(n)}(t)d(x-<!--\; -\; -->t{)}^n=\\ =\frac{1}{(n-<!--\; -\; -->1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{(x-<!--\; -\; -->t)}^{n-<!--\; -\; -->1}{f}^{(n)}(t)dt-<!--\; -\; -->\frac{{(x-<!--\; -\; -->a)}^n{f}^{(n)}(a)}{n!}=...=\underset{a}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{\prime }(t)dt-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a){(x-<!--\; -\; -->a)}^k}{k!}=f(x)-<!--\; -\; -->\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a){(x-<!--\; -\; -->a)}^k}{k!}\end{array}$${\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}$ 

откуда

$f(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{f^{(k)}(a){(x-<!--\; -\; -->a)}^k}{k!}+R_n(x)$$f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)$ 

Ослабим предположения:

• Пусть функция $f(x)$$f(x)$  имеет $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  производную в некоторой окрестности точки $a$$a$  и $n$$n$ -ю производную в самой точке $a$$a$ , тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

$R_n(x)=o[(x-<!--\; -\; -->a{)}^n]$$R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]$ 

Вывод

Поскольку $R_n(a)=R_n(a{)}^{\prime }=R_n(a{)}^{″}=...=R_n(a{)}^{(n)}=0$${R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0$ , то предел отношения $\frac{R_n(x)}{{(x-<!--\; -\; -->a)}^n}$${\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}$  при $x$$x$ , стремящемся к $a$$a$ , может быть найден по правилу Лопиталя: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\frac{R_n(x)}{{(x-<!--\; -\; -->a)}^n}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\frac{R_n(x{)}^{\prime }}{{\left({(x-<!--\; -\; -->a)}^n\right)}^{\prime }}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\frac{R_n(x{)}^{″}}{{\left({(x-<!--\; -\; -->a)}^n\right)}^{″}}=...=\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\frac{R_n{(x)}^{(n)}}{{\left({(x-<!--\; -\; -->a)}^n\right)}^{(n)}}=\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\frac{R_n{(x)}^{(n)}}{n!}=0$$\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!}}=0$ 

Поскольку предел равен нулю, это значит, что остаточный член $R_n(x)$$R_{n}(x)$  является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем $(x-<!--\; -\; -->a{)}^n$$(x-a)^{n}$ , при $x\to <!--\; \to \; -->a$$x\to a$ . А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функцииПравить

Основной источник:

Предположим, что некоторую функцию $f(x)$$f(x)$  нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке $x=a$$x=a$ . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке $a$$a$ , и её ряд Тейлора с параметром $a$$a$  может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка $x=a$$x=a$ , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции $f(x)$$f(x)$  только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку $a$$a$ . Пусть ряд Тейлора с параметром $a$$a$  такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех $x$$x$  из окрестности $a$$a$  по формуле Тейлора можно записать $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{R}_n(x)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(f(x)-<!--\; -\; -->P_n(x))=f(x)-<!--\; -\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{P}_n(x)$$\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ , где $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{P}_n(x)$$\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$  — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция $f(x)$$f(x)$  является аналитической в точке $a$$a$  тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки $a$$a$  существует непрерывная область $X$$X$  такая, что для всех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом $n$$n$ : $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{R}_n(x)=0$$\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$ .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию $e^x$$e^{x}$ . Её ряд Тейлора сходится на всей оси $x$$x$  для любых параметров $a$$a$ . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках $a$$a$ .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид $R_n(x)=\frac{{(x-<!--\; -\; -->a)}^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n}$${R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ , где ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$\xi _{n}$  — некоторое число, заключенное между $x$$x$  и $a$$a$  (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{R}_n(x)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{{(x-<!--\; -\; -->a)}^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n}\le <!--\; \le \; -->M\cdot <!--\; \cdot \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{{(x-<!--\; -\; -->a)}^{n+1}}{(n+1)!}=0$$\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0$ 

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом $M$$M$ 

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых $x$$x$  и $a$$a$ .

Ряды Маклорена некоторых функцийПравить

• Экспонента: ${\mathrm{e}}^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^n}{n!},x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} .$ 
• Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): $\ln <!--\; \; -->(1+x)=x-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}{x}^n}{n}$$\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}$  для всех $-1<x\leq 1.$ 
• Биномиальное разложение: $(1+x{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=1+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{n})x^n,$$\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\binom \alpha n}x^{n},$  для всех $\left| x \right| < 1$  и всех комплексных $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},$$\alpha ,$  где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{n})=\underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->k+1}{k}=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)\cdots <!--\; \cdots \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->n+1)}{n!}$$\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$  — обобщённые биномиальные коэффициенты.
  • Квадратный корень: $\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-<!--\; -\; -->\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->1}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4}{x}^2+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6}{x}^3-<!--\; -\; -->\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->8}{x}^4+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdot <!--\; \cdot \; -->7}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->8\cdot <!--\; \cdot \; -->10}{x}^5-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-<!--\; -\; -->1)(n!{)}^2}{x}^n=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-<!--\; -\; -->1)}{x}^n$$\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}}x^{n}$  для всех $|x|\le <!--\; \le \; -->1.$$|x|\leq 1.$ 
  • Обратный квадратный корень: $\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4}{x}^2-<!--\; -\; -->\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6}{x}^3+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdot <!--\; \cdot \; -->7}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->8}{x}^4-<!--\; -\; -->\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5\cdot <!--\; \cdot \; -->7\cdot <!--\; \cdot \; -->9}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->8\cdot <!--\; \cdot \; -->10}{x}^5+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}{x}^n=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}{x}^n$$\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}x^{n}$  для всех $-1<x\leq 1.$ 
  • Геометрические ряды^[en]:
    • $\frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}=1+x+x^2+x^3+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^n$${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n}$  для всех $|x|<1.$ 
    • $\frac{1}{(1-<!--\; -\; -->x{)}^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}n{x}^{n-<!--\; -\; -->1}$${\dfrac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}$  для всех $|x|<1.$ 
    • $\frac{1}{(1-<!--\; -\; -->x{)}^3}=1+3x+6x^2+10x^3+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(n-<!--\; -\; -->1)n}{2}{x}^{n-<!--\; -\; -->2}$${\dfrac {1}{(1-x)^{3}}}=1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}$  для всех $|x|<1.$ 
    • Конечный геометрический ряд: $\frac{1-<!--\; -\; -->x^{m+1}}{1-<!--\; -\; -->x}=\underset{n=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^n$$\displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n}$  для всех $x\ne 1,m\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}_0.$$x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}.$ 
• Тригонометрические функции:
  • Синус: $\sin <!--\; \; -->x=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$ 
  • Косинус: $\cos <!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-<!--\; -\; -->\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$ 
  • Тангенс: $\mathrm{tg}<!--\; \; -->x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}{2}^{2n}(2^{2n}-<!--\; -\; -->1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$  для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$  где $B_{2n}$$B_{2n}$  — числа Бернулли.
  • Котангенс: $\mathrm{ctg}<!--\; \; -->x=x^{-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}x-<!--\; -\; -->\frac{1}{45}{x}^3-<!--\; -\; -->\frac{2}{945}{x}^5-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=x^{-1}-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}-{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$  для всех $0<|x|<\pi ,$  где $B_{2n}$$B_{2n}$  — числа Бернулли.
  • Секанс: $\sec <!--\; \; -->x=1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+\frac{61}{720}{x}^6+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$$\displaystyle \sec x=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$  для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$  где $E_{2n}$$E_{2n}$  — числа Эйлера.
  • Косеканс: $\mathrm{cosec}<!--\; \; -->x=x^{-<!--\; -\; -->1}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3+\frac{31}{15120}{x}^5+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}2\left(2^{2n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->1\right)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\displaystyle \operatorname {cosec} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$  для всех $0<|x|<\pi ,$  где $B_{2n}$$B_{2n}$  — числа Бернулли.
• Обратные тригонометрические функции:
  • Арксинус: $\arcsin <!--\; \; -->x=x+\frac{1}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{x}^3+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{x}^5+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->7}{x}^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$\arcsin x=x+{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1$$\left|x\right|\leq 1$ .
  • Арккосинус: $\arccos <!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->\frac{1}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{x}^3-<!--\; -\; -->\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{x}^5-<!--\; -\; -->\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->7}{x}^7-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1.$$\left|x\right|\leq 1.$ 
  • Арктангенс: $\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{7}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}{2n-<!--\; -\; -->1}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1.$$\left|x\right|\leq 1.$ 
  • Арккотангенс: $\mathrm{arcctg}<!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\mathrm{arctg}<!--\; \; -->x=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->x+\frac{x^3}{3}-<!--\; -\; -->\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}-<!--\; -\; -->\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}{2n-<!--\; -\; -->1}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\operatorname {arcctg} x={\pi \over 2}-\operatorname {arctg} x={\pi \over 2}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1.$$\left|x\right|\leq 1.$ 

• Гиперболические функции:
  • Гиперболический синус: $\mathrm{sh}<!--\; \; -->x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$ 
  • Гиперболический косинус: $\mathrm{ch}<!--\; \; -->x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}.$$\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$ 
  • Гиперболический тангенс: $\mathrm{th}<!--\; \; -->x=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-<!--\; -\; -->\frac{17x^7}{315}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{2^{2n}{B}_{2n}(2^{2n}-<!--\; -\; -->1)}{(2n)!}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$  для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$ 
  • Гиперболический котангенс: $\mathrm{cth}<!--\; \; -->x=x^{-<!--\; -\; -->1}+\frac{1}{3}x-<!--\; -\; -->\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{2^{2n}{B}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\operatorname {cth} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$  для всех $0<|x|<\pi .$ 
  • Гиперболический секанс: $\mathrm{sech}<!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4-<!--\; -\; -->\frac{61}{720}{x}^6+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{E_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$$\operatorname {sech} x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}-{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$  для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$ 
  • Гиперболический косеканс: $\mathrm{cosech}<!--\; \; -->x=x^{-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3-<!--\; -\; -->\frac{31}{15120}{x}^5+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{2(2^{2n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-<!--\; -\; -->1}$$\operatorname {cosech} x=x^{-1}-{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}-{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$  для всех $0<|x|<\pi .$ 

• Обратные гиперболические функции:
  • Гиперболический ареасинус: $\mathrm{arsh}<!--\; \; -->x=x-<!--\; -\; -->\frac{1}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{x}^3+\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{x}^5-<!--\; -\; -->\frac{1\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->5}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->7}{x}^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$\operatorname {arsh} x=x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$  для всех $\left|x\right|\le <!--\; \le \; -->1.$$\left|x\right|\leq 1.$ 
  • Гиперболический ареатангенс: $\mathrm{arth}<!--\; \; -->x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+\frac{1}{7}{x}^7+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$\operatorname {arth} x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{5}}x^{5}+{\tfrac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$  для всех $\left|x\right|<1.$ 

Формула Тейлора для функции двух переменныхПравить

Пусть функция $f(x,y)$$f(x,y)$  имеет непрерывные производные до $(n+1)$$(n+1)$ -го порядка включительно в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$$(x_0, y_0)$ . Введём дифференциальный оператор

$\mathrm{T}=(x-<!--\; -\; -->x_0)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+(y-<!--\; -\; -->y_0)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}$$\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}$ .

Тогда разложение (формула Тейлора) функции $f(x,y)$$f(x,y)$  по степеням $(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^p(y-<!--\; -\; -->y_0{)}^q$$(x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}$  для $p+q\le <!--\; \le \; -->n$$p+q\leq n$  в окрестности точки $(x_0,y_0)$$(x_0, y_0)$  будет иметь вид

$f(x,y)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{T}}^{k}f(x_0,y_0)}{k!}+R_n(x,y),$$f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),$ 

где $R_n(x,y)$$R_n(x,y)$  — остаточный член в форме Лагранжа:

$R_n(x,y)=\frac{{\mathrm{T}}^{(n+1)}f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->})}{(n+1)!},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->[x_0,x],\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}\in <!--\; \in \; -->[y_0,y]$$R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]$ 

Следует иметь в виду, что операторы $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$${\dfrac {\partial }{\partial x}}$  и $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}$${\dfrac {\partial }{\partial y}}$  в ${\mathrm{T}}^k$$\mathrm {T} ^{k}$  действуют только на функцию $f(x,y)$$f(x,y)$ , но не на $(x-<!--\; -\; -->x_0)$$(x-x_0)$  и/или $(y-<!--\; -\; -->y_0)$$(y-y_{0})$ .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе $\mathrm{T}$$\mathrm{T}$ .

В случае функции одной переменной $\mathrm{T}=(x-<!--\; -\; -->x_0)\frac{d}{dx}$$\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$ .

Формула Тейлора многих переменныхПравить

Для получения формулы Тейлора функции $n$$n$  переменных $f(x_1,x_2,...x_n)$$f(x_1, x_2, ... x_n)$ , которая в некоторой окрестности точки $(a_1,a_2,...,a_n)$$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$  имеет непрерывные производные до $(m+1)$$(m+1)$ -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

$\mathrm{T}=(x_1-<!--\; -\; -->a_1)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}+(x_2-<!--\; -\; -->a_2)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}+...+(x_n-<!--\; -\; -->a_n)\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}.$$\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.$ 

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням $(x_i-<!--\; -\; -->a_i{)}^{k_i}$$(x_{i}-a_{i})^{k_{i}}$  в окрестности точки $(a_1,a_2,...,a_n)$$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$  имеет вид

$f(x_1,x_2,...x_n)=\underset{k=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{T}}^{k}f(a_1,a_2,...,a_n)}{k!}+R_m(x_1,x_2,...x_n),$$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),$ 

где $R_m(x_1,x_2,...x_n)$$R_m(x_1, x_2, ... x_n)$  — остаточный член порядка $(m+1)$$(m+1)$ .

Для функции $n$$n$  переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки $(a_1,a_2,...,a_n)$$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ , ряд Тейлора имеет вид:

$f(x_1,x_2,...x_n)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k!}\underset{i_1=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{i_2=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}...\underset{i_k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{k}f(a_1,a_2,...,a_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{i_1}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{i_2}...\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_{i_k}}(x_{i_1}-<!--\; -\; -->a_1)(x_{i_2}-<!--\; -\; -->a_2)...(x_{i_n}-<!--\; -\; -->a_n)$$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})$ .

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

$f(x_1,x_2,...x_n)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\stackrel{k_1+k_2+...+k_n=k}{\stackrel{⏞<!--\; ⏞\; -->}{\underset{k_1=0}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{k_2=0}{\sum <!--\; \sum \; -->}...\underset{k_n=0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}\frac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{k}f(a_1,a_2,...,a_n)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1^{k_1}\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2^{k_2}...\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n^{k_n}}(x_1-<!--\; -\; -->a_1{)}^{k_1}(x_2-<!--\; -\; -->a_2{)}^{k_2}...(x_n-<!--\; -\; -->a_n{)}^{k_n}$$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}$ .

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменныхПравить

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных $x$$x$ , $y$$y$  и $z$$z$  в окрестности точки $(0,0,0)$$(0,0,0)$  до второго порядка малости. Оператор $\mathrm{T}$$\mathrm{T}$  будет иметь вид

$\mathrm{T}=x\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+y\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+z\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}.$$\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.$ 

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

$f(x,y,z)=\underset{k=0}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{T}}^k{f}_0}{k!}+R_2(x,y,z)=$$f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=$ 

$=\left(1+T+\frac{T^2}{2}\right)f_0+R_2(x,y,z);$$=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);$ 

Учитывая, что

$T^2=x^2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+y^2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+z^2\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}+2xy\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+2xz\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+2yz\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z},$$T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},$ 

получим

$f(x,y,z)=f_0+x\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+y\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+z\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+\frac{x^2}{2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{y^2}{2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{z^2}{2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}+$$f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial y}}+z{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial z}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2}}}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+$ 

$+xy\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}+xz\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+yz\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{f}_0}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}z}+R_2(x,y,z).$$+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).$ 

Например, при $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$$f(x,y,z)=e^{x+y+z}$ ,

$f(x,y,z)=1+x+y+z+\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+xy+xz+yz+R_2(x,y,z).$$f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).$ 

ЛитератураПравить

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.