Ряд Фантапье

Ряд Фантапье — разложение аналитического функционала в ряд, аналогичный ряду Тейлора, в некоторой окрестности области его определения. Введён в науку Л. Фантапье в 1930 г.

ОпределениеПравить

Пусть $F[y(t)]$$F[y(t)]$  - аналитический функционал, $y(t)$$y(t)$  - некоторая функция действительного переменного $t$$t$ , на которой он задан. Всякий аналитический функционал в окрестности его области определения можно разложить в абсолютно сходящийся ряд, аналогичный ряду Тейлора:

$F[y(t)+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)]=F[y(t)]+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n!}{F}^{(n)}[y(t);{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1^{\ast <!--\; \ast \; -->},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->},...,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}]\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{)}_{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{)}_{\ast <!--\; \ast \; -->}...\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n{)}_{\ast <!--\; \ast \; -->})$$F[y(t)+\phi (t)]=F[y(t)]+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}F^{(n)}[y(t);\alpha _{1}^{*},\alpha _{2}^{*},...,\alpha _{n}^{*}]\phi (\alpha _{1})_{*}\phi (\alpha _{2})_{*}...\phi (\alpha _{n})_{*})$ 

Здесь $F^{(n)}[y(t);{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1^{\ast <!--\; \ast \; -->},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->},...,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n^{\ast <!--\; \ast \; -->}]={\left\{\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^n}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_2}...{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_n}}F\left[y(t)+\frac{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_1}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1-<!--\; -\; -->t}+\frac{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_2}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2-<!--\; -\; -->t}+...+\frac{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_n}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n-<!--\; -\; -->t}\right]\right\}}_{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_1={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_2=...={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_n=0}$$F^{(n)}[y(t);\alpha _{1}^{*},\alpha _{2}^{*},...,\alpha _{n}^{*}]=\left\{{\frac {\partial ^{n}}{\partial _{\epsilon _{1}}\partial _{\epsilon _{2}}...\partial _{\epsilon _{n}}}}F\left[y(t)+{\frac {\epsilon _{1}}{\alpha _{1}-t}}+{\frac {\epsilon _{2}}{\alpha _{2}-t}}+...+{\frac {\epsilon _{n}}{\alpha _{n}-t}}\right]\right\}_{\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=...=\epsilon _{n}=0}$  - производная n-го порядка от функционала $F$$F$  по $y$$y$  в точке $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , символ $\ast <!--\; \ast \; -->$$*$  обозначает интеграл вдоль замкнутого пути.

ЛитератураПравить

• Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 509 с.