Формальный степенной ряд

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{X}^n,$$F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},$

в котором коэффициенты $a_n$$a_n$ принадлежат некоторому кольцу $R$$R$.

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятияПравить

Алгебраические операцииПравить

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения ($+$$+$ ), умножения ($\cdot <!--\; \cdot \; -->$$\cdot$ ), формального дифференцирования (${}^{\prime }$$'$ ) и композиции ($\circ <!--\; \circ \; -->$$\circ$ ) следующим образом. Пусть

$F(X)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{X}^n,G(X)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_n{X}^n,H(X)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_n{X}^n.$$F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}X^{n}.$ 

Тогда

$H=F+G⟺<!--\; ⟺\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n{c}_n=a_n+b_n;$$H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n};$ 

$H=F\cdot <!--\; \cdot \; -->G⟺<!--\; ⟺\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n{c}_n=\underset{k+l=n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_k{b}_l;$$H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l};$ 

$H=F^{\prime }⟺<!--\; ⟺\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n{c}_n=(n+1)a_{n+1};$$H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1};$ 

$H=F\circ <!--\; \circ \; -->G⟺<!--\; ⟺\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n{c}_n=\underset{s=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_s\underset{k_1+\dots <!--\; \dots \; -->+k_s=n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{b}_{k_1}{b}_{k_2}\dots <!--\; \dots \; -->b_{k_s}$$H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\ldots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\ldots b_{k_{s}}$  (при этом необходимо, чтобы $b_0=0$$b_{0}=0$ ).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом $R$$R$  сами образуют кольцо, обозначаемое $R[[X]]$$R[[X]]$ .

Метрика и топологияПравить

В кольце $R[[X]]$$R[[X]]$  также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

$d((a_n),(b_n))=2^{-<!--\; -\; -->k},$$d((a_{n}),\;(b_{n}))=2^{-k},$ 

где $k$$k$  — наименьшее натуральное число такое, что $a_k\ne <!--\; \ne \; -->b_k$$a_{k}\neq b_{k}$ .

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементыПравить

Формальный ряд

$F(X)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n{X}^n$$F(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$ 

в $R[[X]]$$R[[X]]$  является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда $a_0$$a_{0}$  является обратимым в $R$$R$ . Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен $a_0{b}_0$$a_{0}b_{0}$ , и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда $G(X)$$G(X)$  определяются по формуле:

${\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\qquad \forall n\geqslant 1.F(X)G(X)=1\end{aligned}}$ 

Если же $F(0)=0$$F(0)=0$ , а также $F^{\prime }(0)\ne 0$$F'(0)\not =0$ , то найдётся ряд $G(X)$$G(X)$  (аналогично $H(X)$$H(X)$ ), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что $F(G(X))=X$$F(G(X))=X$  (аналогично $H(F(X))=X)$$H(F(X))=X)$ ).

При этом будет выполнено $G(0)=0$$G(0)=0$  (аналогично $H(0)=0$$H(0)=0$ ). Оставшиеся коэффициенты ряда $G(X)$$G(X)$  ($H(X)$$H(X)$ ) можно выразить через коэффициенты $F(X)$$F(X)$  пошагово дифференцируя равенство $F(G(X))=X$$F(G(X))=X$  (аналогично $H(F(X))=X)$$H(F(X))=X)$ ) и подставляя в него $X=0$$X=0$ .

СвойстваПравить

• Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы $M$$M$ , для которых $M\cap <!--\; \cap \; -->R$$M\cap R$  является максимальным идеалом в $R$$R$  и $M$$M$  есть порождение $X$$X$  и $M\cap <!--\; \cap \; -->R$$M\cap R$ .
• Если $R$$R$  является локальным кольцом, то локальным кольцом является также $R[[X]]$$R[[X]]$ .
• $R$$R$  — нётерово кольцо, то $R[[X]]$$R[[X]]$  также является кольцом Нётер.
• Если $R$$R$  — область целостности, то $R[[X]]$$R[[X]]$  также будет областью целостности.
• Метрическое пространство $(R[[X]],d)$$(R[[X]],\;d)$  является полным.
• Кольцо $R[[X]]$$R[[X]]$  является компактным тогда, когда кольцо $R$$R$  является конечным.
• Лемма Бореля — Уитни: для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция, ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом.

См. такжеПравить

• Степенной ряд
• Производящая функция последовательности

СсылкиПравить

• Формальные степенные ряды на сайте PlanetMath.
• Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 49—65.