Эйлеровы числа

Не следует путать с числами Эйлера I рода.

Не следует путать с числами Эйлера II рода.

Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа $E_0,E_1,E_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$E_{0},E_{1},E_{2},\dots$, использующиеся при разложении гиперболического секанса в степенной ряд

$\frac{1}{\mathrm{ch}<!--\; \; -->(t)}=\frac{2}{e^t+e^{-<!--\; -\; -->t}}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{E_n\cdot <!--\; \cdot \; -->t^n}{n!}$${\frac {1}{\operatorname {ch} (t)}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}\cdot t^{n}}{n!}}$.

Здесь ch(t) обозначает гиперболический косинус.

Так как функция ch(t) чётная, то

$E_1=E_3=E_5=\cdots <!--\; \cdots \; -->=E_{2n+1}=\cdots <!--\; \cdots \; -->=0$$E_{1}=E_{3}=E_{5}=\dots =E_{2n+1}=\dots =0$

Начальные числа Эйлера с чётными индексами (последовательность A028296 в OEIS):

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1385

E₁₀ = −50521

Эйлеровы числа связаны с числами Бернулли следующими соотношениями:

$E_{n-<!--\; -\; -->1}=\frac{(4B-<!--\; -\; -->1{)}^n-<!--\; -\; -->(4B-<!--\; -\; -->3{)}^n}{2n},$$E_{n-1}={\frac {(4B-1)^{n}-(4B-3)^{n}}{2n}},$

$E_{2n}=\frac{4^{2n+1}}{2n+1}(B-<!--\; -\; -->0.25{)}^{2n+1}.$$E_{2n}={\frac {4^{2n+1}}{2n+1}}(B-0.25)^{2n+1}.$

После раскрытия скобок степень числа B следует заменить на индекс.

ЛитератураПравить

• Эйлеровы числа // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1984-1985. — Том 5, стр. 937.