Расширение поля

Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе) $K$$K$ — поле $E$$E$, содержащее данное поле $K$$K$ в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определенияПравить

Запрос «Простое расширение»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Если $E$$E$  — поле, его подполе — это его подмножество $K$$K$ , замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле $E$$E$ . В этом случае $E$$E$  называется расширением поля $K$$K$ , заданное расширение обычно обозначают $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  (также используются обозначения $E/K$$E/K$  и $K\subset <!--\; \subset \; -->E$$K\subset E$ ). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  эквивалентно заданию гомоморфизма $f:K\to <!--\; \to \; -->E$$f:K\to E$ .

Если задано расширение $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  и подмножество $S$$S$  поля $E$$E$ , то наименьшее подполе $E$$E$ , содержащее $K$$K$  и $S$$S$ , обозначается $K(S)$$K(S)$  и называется полем, порождённым множеством $S$$S$  над полем $K$$K$ . Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.

Для любого расширения $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  $E$$E$  является векторным пространством над полем $K$$K$ . В этой ситуации элементы $E$$E$  можно понимать как «векторы», а элементы $K$$K$  — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле $E$$E$ . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается $[E:K]$$[E:K]$ . Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

ПримерыПравить

Поле комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  является расширением поля действительных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ . Это расширение конечно: $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$$[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ , так как $(1,i)$$(1,i)$  является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.

Множество $\{a+b\sqrt{2}\mid <!--\; \mid \; -->a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}\}$$\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$  является расширением поля $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ , которое, очевидно, является простым. Конечные расширения $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена $f(x)$$f(x)$  — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному $f(x)$$f(x)$ . Например, пусть поле $K$$K$  не содержит корня уравнения $x^2=-<!--\; -\; -->1$$x^{2}=-1$ . Следовательно, многочлен $x^2+1$$x^{2}+1$  является неприводимым в $K$$K$ , следовательно, идеал $(x^2+1)$$(x^{2}+1)$  — максимальный, а значит факторкольцо $K[x]/(x^2+1)$$K[x]/(x^{2}+1)$  является полем. Это поле содержит корень уравнения $x^2+1=0$$x^{2}+1=0$  — образ многочлена $x$$x$  при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Алгебраичность и трансцендентностьПравить

Пусть $E$$E$  — расширение поля $K$$K$ . Элемент $E$$E$  называется алгебраическим над $K$$K$ , если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в $K$$K$ . Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения $\mathbb{C}\supset <!--\; \supset \; -->\mathbb{R}$$\mathbb {C} \supset \mathbb {R}$  мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению $x^2+1=0$$x^{2}+1=0$ .

Особенно важен частный случай расширений $\mathbb{C}\supset <!--\; \supset \; -->\mathbb{Q}$$\mathbb {C} \supset \mathbb {Q}$ : термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  является алгебраическим над $K$$K$ , $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество $S$$S$  поля $E$$E$  называется алгебраически независимым над $K$$K$ , если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в $K$$K$ , такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из $S$$S$  получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество $S$$S$ , такое что $E\supset <!--\; \supset \; -->K(S)$$E\supset K(S)$  является алгебраическим расширением. Множество $S$$S$ , удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$ , являющиеся алгебраическими над $K$$K$  — это сами элементы $K$$K$ .

Расширения ГалуаПравить

Алгебраическое расширение $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен $f(x)$$f(x)$  над $K$$K$ , имеющий хотя бы один корень в $E$$E$ , разлагается в $E$$E$  на линейные множители.

Алгебраическое расширение $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  называется сепарабельным, если каждый элемент $E$$E$  является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  можно рассмотреть группу автоморфизмов поля $E$$E$ , действующих тождественно на поле $K$$K$ . Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя $E$$E$ , содержащие $K$$K$ ). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

ЛитератураПравить

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — т. 1. — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.