Минимальный многочлен алгебраического элемента

Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение $E⊋<!--\; ⊋\; -->K$$E\supsetneq K$ и элемент $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$, алгебраический над $K$$K$, то минимальное подполе $E$$E$, содержащее $K$$K$ и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$, изоморфно факторкольцу $K[x]/(f(x))$$K[x]/(f(x))$, где $K[x]$$K[x]$ — кольцо многочленов с коэффициентами в $K$$K$, а $(f(x))$$(f(x))$ — главный идеал, порождённый минимальным многочленом $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$. Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

ОпределениеПравить

Пусть $E⊋<!--\; ⊋\; -->K$$E\supsetneq K$  — расширение поля, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$  — элемент, алгебраический над $K$$K$ . Рассмотрим множество многочленов $f(x)\in <!--\; \in \; -->K[x]$$f(x)\in K[x]$ , таких что $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0$$f(\alpha)=0$ . Это множество образует идеал в кольце многочленов $K[x]$$K[x]$ . Действительно, если $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0,g(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0$$f(\alpha)=0, g(\alpha)=0$ , то $(f+g)(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0$$(f+g)(\alpha)=0$ , и для любого многочлена $h(x)\in <!--\; \in \; -->K[x]$$h(x)\in K[x]$  $(f\cdot <!--\; \cdot \; -->h)(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0$$(f\cdot h)(\alpha)=0$ . Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  алгебраичен; поскольку $K[x]$$K[x]$  — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом $f(x)$$f(x)$ . Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент $f(x)$$f(x)$  был равен единице, то есть чтобы $f(x)$$f(x)$  был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ . Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в $K[x]$$K[x]$ .

ПримерыПравить

• Пусть $K=\mathbb{Q},E=\mathbb{R},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sqrt{2}$$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ . Тогда минимальный многочлен числа $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — это $x^2-<!--\; -\; -->2$$x^{2}-2$ . Если же мы возьмём $K=\mathbb{R}$$K={\mathbb R}$ , то минимальный многочлен равен $x-<!--\; -\; -->\sqrt{2}$$x-\sqrt 2$ .
• $K=\mathbb{Q},E=\mathbb{R},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . Минимальный многочлен $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — это $x^4-<!--\; -\; -->10x^2+1$$x^4-10x^2+1$ .
• $K=\mathbb{Q},E=\mathbb{R},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}.$$K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}.$  Минимальный многочлен $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  равен $x^3+3x-<!--\; -\; -->2.$$x^{3}+3x-2.$ 
• Аналогичный для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}-<!--\; -\; -->\sqrt[3]{1-<!--\; -\; -->\sqrt{2}}$$\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}$  многочлен равен $(x^3-<!--\; -\; -->3x-<!--\; -\; -->2\sqrt{2})(x^3-<!--\; -\; -->3x+2\sqrt{2})=x^6-<!--\; -\; -->6x^4+9x^2-<!--\; -\; -->8.$$(x^{3}-3x-2{\sqrt {2}})(x^{3}-3x+2{\sqrt {2}})=x^{6}-6x^{4}+9x^{2}-8.$ 

Сопряжённые элементыПравить

Запрос «Сопряжённый элемент (теория полей)»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Сопряжённые элементы алгебраического элемента $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  над полем $K$$K$  — это все (остальные) корни минимального многочлена $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ .

СвойстваПравить

Пусть $E⊋<!--\; ⊋\; -->K$$E\supsetneq K$  — нормальное расширение с группой автоморфизмов $G$$G$ , $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$ . Тогда для любого $g\in <!--\; \in \; -->G$$g\in G$  — $g(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$g(\alpha)$  является сопряжённым к $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из $K[x]$$K[x]$  снова в корни. Обратно, любой элемент $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , сопряжённый к $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , имеет такой вид: это значит, что группа $G$$G$  действует транзитивно на множестве сопряжённых элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, $K(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$K(\alpha )$  K-изоморфно $K(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$K(\beta)$ . Следовательно, отношение сопряжённости симметрично.

Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряжённых ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.

ПримечанияПравить

• Minimal polynomial (англ.) на сайте PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Conjugate Elements на сайте Wolfram MathWorld.
• Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270—273. — ISBN 978-0-486-47417-5