Нормальное расширение

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля $K\subset <!--\; \subset \; -->E$$K\subset E$ для которого каждый неприводимый многочлен $f(x)$$f(x)$ над $K$$K$, имеющий хотя бы один корень в $E$$E$, разлагается в $E$$E$ на линейные множители.

Равносильное определение: Если $K\subset <!--\; \subset \; -->E\subset <!--\; \subset \; -->K^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K \subset E \subset K^*$, где $K^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K^{*}$ — алгебраическое замыкание поля $K$$K$, то $E$$E$ нормально, если любой гомоморфизм $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ поля $E$$E$ в алгебраическое замыкание $K^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K^{*}$ над $K$$K$ является автоморфизмом поля $E$$E$.

Нормальное расширение как поле разложенияПравить

Всякое расширение $K\subset <!--\; \subset \; -->E$$K\subset E$  является нормальным тогда и только тогда, когда $E$$E$  является полем разложения некоторого множества многочленов из $K[x]$$K[x]$ .

Нормальные расширения в соответствии ГалуаПравить

Если $F$$F$  — расширение Галуа поля $K$$K$ , а $E$$E$  — какое-нибудь промежуточное подполе $K\subset <!--\; \subset \; -->E\subset <!--\; \subset \; -->F$$K\subset E\subset F$ , то группа Галуа $\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F/E)$$\operatorname {Gal} (F/E)$  по определению состоит из всех автоморфизмов $F$$F$ , оставляющих элементы $E$$E$  неподвижными. Если $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа $\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F/K)$$\operatorname {Gal} (F/K)$ , отображающий $E$$E$  на $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(E)$$\sigma (E)$  то, очевидно, что

$\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F/\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}E)=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F/E){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\operatorname {Gal} (F/\sigma E)=\sigma \operatorname {Gal} (F/E)\sigma ^{-1}$ 

Поэтому расширение $E$$E$  нормально тогда и только тогда, когда подгруппа $\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F/E)$$\operatorname {Gal} (F/E)$  является нормальной подгруппой в $\mathrm{Gal}<!--\; \; -->(F/K)$$\operatorname {Gal} (F/K)$  (отсюда и терминология).

ЛитератураПравить

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1967.