Теорема о примитивном элементе

Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->F$$E\supseteq F$, такие что существует примитивный элемент $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$ с $E=F[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}]=F(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$E=F[\alpha ]=F(\alpha )$.

ТерминологияПравить

Пусть $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->F$$E\supseteq F$  — произвольное расширение поля. Элемент $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$  называется примитивным элементом для расширения $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->F$$E\supseteq F$ , если

$E=F(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}).$$E=F(\alpha ).$ 

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент $x\in <!--\; \in \; -->E$$x\in E$  простого расширения можно записать в виде

$x=\frac{f_{n-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+f_1\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+f_0}{g_{k-<!--\; -\; -->1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{k-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+g_1\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+g_0}$$x={\frac {f_{{n-1}}{\alpha }^{{n-1}}+\cdots +f_{1}{\alpha }+f_{0}}{g_{{k-1}}{\alpha }^{{k-1}}+\cdots +g_{1}{\alpha }+g_{0}}}$  где $f_i,g_i\in <!--\; \in \; -->F,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$f_{i},g_{i}\in F,\alpha \in E$ 

Если же, кроме того $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->F$$E\supseteq F$  сепарабельно и имеет степень n, существует $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$ , такое что множество

$\{1,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\cdots <!--\; \cdots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->1}\}$$\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{{n-1}}\}$ 

образует базис E как векторного пространства над F.

ФормулировкаПравить

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->F$$E\supseteq F$  — конечное расширение поля. Тогда $E=F(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$E=F(\alpha )$  для некоторого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$  тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K\supseteq <!--\; \supseteq \; -->F$$E\supseteq K\supseteq F$  конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->F$$E\supseteq F$  — конечное сепарабельное расширение. Тогда $E=F(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$E=F(\alpha )$  для некоторого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$ .

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

ПримерПравить

Далеко не очевидно, что если добавить в $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  корни многочленов $x^2-<!--\; -\; -->2$$x^{2}-2$  и $x^2-<!--\; -\; -->3$$x^{2}-3$ , получив поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$${\mathbb {Q}}({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$  степени 4 над $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ , то существует элемент $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$$\gamma \in {\mathbb {Q}}({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ , через степени которого выражаются как $\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$ , так и $\sqrt{3}$${\sqrt {3}}$ . Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

$\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$\gamma ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ 

Степени $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^2,{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^3$$\gamma ,\gamma ^{2},\gamma ^{3}$  выражаются как сумма $\sqrt{2},\sqrt{3}$${\sqrt 2},{\sqrt 3}$  и $\sqrt{2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt{3}$${\sqrt 2}\cdot {\sqrt 3}$  с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё $\sqrt{2}$${\sqrt {2}}$  и $\sqrt{3}$${\sqrt {3}}$  (например, $\sqrt{2}=\frac{{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^3-<!--\; -\; -->9\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}$${\sqrt {2}}=\scriptstyle {\frac {\gamma ^{3}-9\gamma }2}$ ), откуда следует, что $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  является примитивным элементом.

ПримечанияПравить

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Доказательство теоремы на mathreference.com
• Доказательство теоремы на сайте Кена Брауна