Конечное расширение

Коне́чное расшире́ние — расширение поля $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$, такое, что $E$$E$ конечномерно над $K$$K$ как векторное пространство. Размерность векторного пространства $E$$E$ над $K$$K$ называется степенью расширения и обозначается $[E:K]$$[E:K]$.

Свойства конечных расширенийПравить

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть $[E:K]=n$$[E:K]=n$ , так как для любого элемента $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->E$$\alpha \in E$  набор из $n+1$$n+1$  элементов $1,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2,...{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^n$$1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}$  не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над $K$$K$  степени не выше $n$$n$ , такой, что $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  является его корнем.

Простое алгебраическое расширение $E=K(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$E=K(\alpha )$  является конечным. Если неприводимый многочлен $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  над $K$$K$  имеет степень $n$$n$ , то $[E:K]=n$$[E:K]=n$ .

В башне полей $F\supset <!--\; \supset \; -->E\supset <!--\; \supset \; -->K$$F\supset E\supset K$ , поле $F$$F$  конечно над $K$$K$  тогда и только тогда, когда $F$$F$  конечно над $E$$E$  и $E$$E$  конечно над $K$$K$ . Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если $e_1,...e_n$$e_{1},...e_{n}$  — базис $E$$E$  над $K$$K$  и $f_1,...f_m$$f_{1},...f_{m}$  — базис $F$$F$  над $E$$E$  то $f_1{e}_1,f_1{e}_2,...f_1{e}_n,f_2{e}_1,...f_m{e}_1,...f_m{e}_n$$f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1},...f_{m}e_{n}$  — базис $F$$F$  над $K$$K$ , отсюда $[F:E][E:K]=[F:K]$$[F:E][E:K]=[F:K]$ .

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса $E=K(e_1,...e_n)$$E=K(e_{1},...e_{n})$ . Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, $K({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,...{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)=K({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1)({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2)...({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)$$K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})$ . Элементы ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i$$\alpha_i$  будучи алгебраическими над $K$$K$  остаются таковыми и над бо́льшим полем $K({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1)...({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1})$$K(\alpha _{1})...(\alpha _{{i-1}})$ . Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E\supset K$  конечно, то для любого расширения $F\supset <!--\; \supset \; -->K$$F\supset K$  то, (если $F$$F$  и $E$$E$  содержатся в каком-нибудь поле) композит полей $EF$$EF$  является конечным расширением $F$$F$ ).

ЛитератураПравить

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967