Сепарабельное расширение

Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля $E\supset <!--\; \supset \; -->K$$E \supset K$, состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$, минимальный аннулятор $f(x)$$f(x)$ над $K$$K$ для которых не имеет кратных корней. Производная $f^{\prime }(x)$$f'(x)$ должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики $p$$p$.

Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если $K\subset <!--\; \subset \; -->E\subset <!--\; \subset \; -->K^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K \subset E \subset K^*$, где $K^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K^{*}$ — алгебраическое замыкание поля $K$$K$, то $E$$E$ сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ поля $E$$E$ в алгебраическое замыкание $K^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K^{*}$ над $K$$K$ равно степени $[E:K]$$[E:K]$. В случае несепарабельных расширений это число является делителем $[E:K]$$[E:K]$ и называется сепарабельной степенью $[E:K{]}_s$$[E:K]_s$ (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширенийПравить

Если расширения $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K$$E \supseteq K$  и $F\supseteq <!--\; \supseteq \; -->E$$F \supseteq E$  сепарабельны, то и расширение $F\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K$$F \supseteq K$  сепарабельно. Обратно, если $F\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K$$F \supseteq K$  сепарабельно, то и $E\subseteq <!--\; \subseteq \; -->K$$E \subseteq K$  и $F\subseteq <!--\; \subseteq \; -->E$$F \subseteq E$  сепарабельны.

Если расширение $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K$$E \supseteq K$  сепарабельно, то для любого расширения $F\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K$$F \supseteq K$  (если $F$$F$  и $E$$E$  содержатся в каком-нибудь поле) композит полей^[en] $EF$$EF$  является сепарабельным расширением $K$$K$ .

Теорема о примитивном элементе: если $E=K({\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)$$E=K(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ , где ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1$$\alpha _{1}$  алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над $K$$K$ , а ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\alpha_2, \dots, \alpha_n$  — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  (называемый примитивным элементом), что $E=K(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$E=K(\theta)$ .

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширенияПравить

Расширение $E\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K$$E \supseteq K$  называется линейно свободным от $L\supseteq <!--\; \supseteq \; -->K$$L \supseteq K$ , если любое конечное множество элементов $E$$E$  линейно независимое над $K$$K$  остаётся линейно независимым и над $L$$L$ . Данное определение симметрично: если $E$$E$  линейно свободно от $L$$L$  над $K$$K$ , то и наоборот, $L$$L$  линейно свободно от $E$$E$  над $K$$K$ .

Расширение (не обязательно алгебраическое) $E$$E$  над полем $K$$K$  называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального $m$$m$  линейно свободно от расширения $K^{p^{-<!--\; -\; -->m}}$$K^{p^{-m}}$  — порождённого присоединением всех корней степени $p^m$$p^{m}$  из элементов $K$$K$ . Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа $m$$m$  данное определение не зависит и равносильно линейной свободе $E$$E$  от $K^{p^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$$K^{p^{-\infty}}$  — композита всех $K^{p^{-<!--\; -\; -->m}}$$K^{p^{-m}}$  (критерий Маклейна).

ЛитератураПравить

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра . — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: Иностранная литература, 1963. — Т. 1 .
• Ленг С. Алгебра . — М.: Мир, 1967.