Базис

Ба́зис (др.-греч. βάσις «основа») — упорядоченный (конечный или бесконечный) набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Векторы базиса называются базисными векторами.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

• Базис Га́меля (англ. Hamel basis), в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации; применяется в основном в абстрактной алгебре.
• Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды; применяется в основном в функциональном анализе, в частности, для гильбертова пространства.

В конечномерных пространствах оба определения базиса совпадают.

Происхождение терминаПравить

У Евклида и других древнегреческих математиков слово «базис» (βάσις, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

Базис на плоскости и в трёхмерном пространствеПравить

 

Базис на плоскости. Базисные векторы изображены голубым и оранжевым цветом, зелёный вектор может быть представлен в виде суммы базисных векторов, умноженных на некоторые коэффициенты (зелёный = −2 голубой + 1 оранжевый), называемой линейной комбинацией и, таким образом, линейно зависим от них, как и любой другой вектор этого пространства (плоскости), каждый из которых тоже может быть представлен в виде линейной комбинации голубого и оранжевого с какими-то коэффициентами.

Любой декартовой системе координат на плоскости или в трёхмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).

Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.

Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.

В любом векторном пространстве базис можно выбрать различным образом (поменяв направления его векторов или их длины, например).

ОбозначенияПравить

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_1,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_2$${\vec e}_{1},{\vec e}_{2}$ 

или

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_x,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y$${\vec e}_{x},{\vec e}_{y}$ 

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),

 

Декартовы координаты в трёхмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются исходящими из общего начала).

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_1,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_2,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_3$${\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}$ 

или

${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_x,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z$$\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$ 

— трёхмерного пространства. Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}.$${\vec i},{\vec j},{\vec k}.$ 

Представление какого-то конкретного (любого) вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$$\vec a$  пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=a_x{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_x+a_y{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y+a_z{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z$${\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}$ 

или

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=a_1{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_1+a_2{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_2+a_3{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_3$${\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}$ 

или, употребляя знак суммы $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ :

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_i$${\vec a}=\sum _{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}$ 

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты $(a_x,a_y,a_z)$$(a_{x},a_{y},a_{z})$  называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$$\vec a$  в базисе ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_x,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y,{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z.$${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$  (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Виды базисовПравить

Базис ГамеляПравить

Базис Га́меля — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть $S_1$$S_{1}$  — полная, а $S_2$$S_{2}$  — линейно независимая система векторов. Тогда система $S_1$$S_{1}$  содержит набор векторов, дополняющий $S_2$$S_{2}$  до базиса пространства $V$$V$ .

Доказательство

Доказательство строится на применении леммы Цорна. Рассмотрим $S=S_1\cup <!--\; \cup \; -->S_2$$S=S_{1}\cup S_{2}$ . Пусть $L$$L$  — множество всех линейно независимых подмножеств $S$$S$ . Это множество частично упорядочено по отношению включения.

Докажем, что объединение любой цепи линейно независимых множеств остаётся линейно независимым. Действительно, возьмём вектора $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{1},\ldots ,a_{n}$  из объединения и возьмём множества из цепи, которым эти вектора принадлежат: $a_1\in <!--\; \in \; -->A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n\in <!--\; \in \; -->A_n$$a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}$ . Так как эти множества — элементы цепи, их объединение даст максимальное из них, которое линейно независимо, а значит и вектора $a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n$$a_{1},\ldots ,a_{n}$ , лежащие в этом множестве, также линейно независимы.

Объединение множеств цепи линейно независимо, а значит, содержится в множестве $L$$L$ . Применим к нему усиленную формулировку леммы Цорна, которая утверждает, что для каждого элемента из $L$$L$  есть максимальный элемент больший или равный ему. $S_2\in <!--\; \in \; -->L$$S_{2}\in L$ , а значит, есть такой максимальный элемент $B\in <!--\; \in \; -->L$$B\in L$ , что $S_2\subset <!--\; \subset \; -->B$$S_{2}\subset B$ . Легко видеть, что $B$$B$  есть базис. Действительно, не будь $B$$B$  полной системой векторов, был бы вектор $a\in <!--\; \in \; -->S_1$$a\in S_{1}$ , непредставимый как линейная комбинация векторов из $B$$B$ . Тогда $B\cup <!--\; \cup \; -->\{a\}$$B\cup \{a\}$  — линейно независимая система, а значит, $B\cup <!--\; \cup \; -->\{a\}\in <!--\; \in \; -->L$$B\cup \{a\}\in L$ , что противоречит тому, что $B$$B$  —— максимальный элемент $L$$L$ .

Следствием этой леммы являются утверждения:

1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается $\dim <!--\; \; -->V$$\dim V$ ). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

ПримерыПравить

• Векторы $e_1,e_2,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n$$e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$  пространства ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$  образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: $det\{e_1,e_2,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n\}\ne <!--\; \ne \; -->0$$\det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0$ .
• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: $1,x,x^2,\dots <!--\; \dots \; -->,x^n,\dots <!--\; \dots \; -->$$1,x,x^{2},\dots ,x^{n},\dots$ .
• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля и разрывная линейная функцияПравить

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию $f(x+y)=f(x)+f(y)$$f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Пусть $\{r_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}$$\{r_{\alpha }\}$  — базис Гамеля множества действительных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ . Тогда для каждого $x=k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{r}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}{r}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$  ($k_i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}$$k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ ) положим $f(x)=k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{f}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}{f}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ , где $f_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}=f(r_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n})$$f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$  произвольные вещественные числа, например, рациональные (в этом случае функция $f(x)$$f(x)$  принимает лишь рациональные значения и тем самым гарантированно не является линейной функцией $f(x)=(c\cdot <!--\; \cdot \; -->x)$$f(x)=(c\cdot x)$ ). Такая функция $f(x)$$f(x)$  аддитивна, то есть удовлетворяет функциональному уравнению Коши $f(x+y)=f(x)+f(y)$$f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Однако в общем случае, когда $f_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}\ne <!--\; \ne \; -->c\cdot <!--\; \cdot \; -->r_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ , она отличается от линейной функции $f(x)=c\cdot <!--\; \cdot \; -->x$$f(x)=c\cdot x$  и в силу этого является разрывной в любой точке, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя своими значениями на этом интервале всюдо плотно числовую ось $\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left(-\infty ,+\infty \right)$ .

Базис ШаудераПравить

Система векторов $\{e_n\}$$\{e_{n}\}$  топологического векторного пространства $L$$L$  называется базисом Шаудера (в честь Шаудера), если каждый элемент $f\in <!--\; \in \; -->L$$f\in L$  разлагается в единственный, сходящийся к $f$$f$  ряд по $\{e_n\}$$\{e_{n}\}$ :

$f=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_i{e}_i,$$f=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}f_{i}e_{i},$ 

где $f_i$$f_{i}$  — числа, называемые коэффициентами разложения вектора $f$$f$  по базису $\{e_n\}$$\{e_{n}\}$ .

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций $\{1,\frac{1}{\sqrt{2}}\sin <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}nx),\frac{1}{\sqrt{2}}\cos <!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}nx)\mid <!--\; \mid \; -->n=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->\}$$\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots \}$  является базисом Шаудера в пространстве $L^2[0,1]$$L^{2}[0,1]$ . В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

Пример: базис Шаудера для пространства непрерывных функций C[a, b]Править

$C[a,b]$$C[a,b]$  — банахово пространство с нормой $\Vert <!--\; \Vert \; -->f\Vert <!--\; \Vert \; -->=\underset{x\in <!--\; \in \; -->[a,b]}{max}|f(x)|$$\|f\|=\max _{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ . Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в гильбертовом пространстве $L^2[a,b]$$L^{2}[a,b]$ , но не в $C[a,b]$$C[a,b]$ . Шаудер сконструировал базис Шаудера $\{e_n\}$$\{e_{n}\}$  для $C[a,b]$$C[a,b]$ . Пусть $\{x_0,x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n,\dots <!--\; \dots \; -->\}$$\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\dots \}$  — плотное счетное множество точек на $[a,b]$$[a,b]$ , $x_0=a$$x_{0}=a$ , $x_1=b$$x_{1}=b$ , остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка $[a,b]$$[a,b]$ , упорядоченными произвольным образом. Положим: $e_0=1$$e_{0}=1$ , $e_1=(x-<!--\; -\; -->a)/(b-<!--\; -\; -->a)$$e_{1}=(x-a)/(b-a)$  — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию $e_n(x)$$e_{n}(x)$  так, чтобы $e_n(x_i)=0$$e_{n}(x_{i})=0$  при $i=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$$i=0,1,\dots ,n-1$  и $e_n(x_n)=1$$e_{n}(x_{n})=1$ . Точки $x_0,x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->1}$$x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{{n-1}}$  разбивают $[a,b]$$[a,b]$  на $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$  отрезок. Точка $x_n$$x_{n}$  лежит строго внутри одного из них. Пусть это $I_n=[x_j,x_k]$$I_{n}=[x_{j},x_{k}]$  для каких-то $j,k\in <!--\; \in \; -->\{0,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1\}$$j,k\in \{0,\dots ,n-1\}$  (порядок нумерации чисел $x_0,x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$x_{0},x_{1},x_{2},\dots$  не соответствует их величине).

 

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение $L_5(x)$$L_{{5}}(x)$ . Красным цветом на графике выделен участок, на котором $L_5$$L_{{5}}$  отличается от $L_4$$L_{{4}}$  (синяя ломаная).

Положим:

$e_n(x)=0$$e_{n}(x)=0$  вне отрезка $I_n=[x_j,x_k],$$I_{n}=[x_{j},x_{k}],$ 

$e_n(x)=\frac{x-<!--\; -\; -->x_j}{x_n-<!--\; -\; -->x_j}$$e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}$  при $x\in <!--\; \in \; -->[x_j,x_n],$$x\in [x_{j},x_{n}],$ 

$e_n(x)=\frac{x_k-<!--\; -\; -->x}{x_k-<!--\; -\; -->x_n}$$e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}$  при $x\in <!--\; \in \; -->[x_n,x_k].$$x\in [x_{n},x_{k}].$ 

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции $f(x)\in <!--\; \in \; -->C[a,b]$$f(x)\in C[a,b]$  по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений $f(x_i)$$f(x_{i})$ . Частичная сумма первых $n+1$$n+1$  членов ряда

$L_n(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_i{e}_i(x),$$L_{n}(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),$ 

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией $f(x)$$f(x)$  с узлами в точках $x_0,x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{{n}}$ ; формула для коэффициентов $f_n=f(x_n)-<!--\; -\; -->L_{n-<!--\; -\; -->1}(x_n);f_0=f(a)$$f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$  (см. Рис.)

Проблема базисаПравить

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло, Шанковского, Дэви и Фигеля).

Применение в кристаллографииПравить

В векторной алгебре с помощью векторного произведения и смешанного произведения определяется понятие взаимного базиса к базису в трёхмерном евклидовом пространстве и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных со смешанным произведением и углами между векторами. В кристаллографии взаимный базис называется кристаллографическим определением базиса, на основе которого определяется обратная решётка.

См. такжеПравить

• Репер — близкое понятие.
• Ортогональный базис — специальный класс базисов (базисов Шаудера) для пространств со скалярным произведением (Гильбертово пространство).
• Базис Грёбнера
• Базис Рисса
• Конечномерное пространство
• Флаг (математика)

ЛитератураПравить

• Кутателадзе С. С., Основы функционального анализа. — 4 изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — XII+354 c.