Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$$({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$ векторов $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$${\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}}$ — скалярное произведение вектора $\mathbf{a}$${\mathbf {a}}$ на векторное произведение векторов $\mathbf{b}$${\mathbf {b}}$ и $\mathbf{c}$${\mathbf {c}}$:

$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\mathbf{b}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{c}\right)$$({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf c})={\mathbf {a}}\cdot \left({\mathbf {b}}\times {\mathbf c}\right)$.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$${\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c}$.

СвойстваПравить

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=(\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a})=(\mathbf{c},\mathbf{a},\mathbf{b})=-<!--\; -\; -->(\mathbf{b},\mathbf{a},\mathbf{c})=-<!--\; -\; -->(\mathbf{c},\mathbf{b},\mathbf{a})=-<!--\; -\; -->(\mathbf{a},\mathbf{c},\mathbf{b});$$({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=({\mathbf b},{\mathbf c},{\mathbf a})=({\mathbf c},{\mathbf a},{\mathbf b})=-({\mathbf b},{\mathbf a},{\mathbf c})=-({\mathbf c},{\mathbf b},{\mathbf a})=-({\mathbf a},{\mathbf c},{\mathbf b});$ 

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

$⟨<!--\; ⟨\; -->\mathbf{a},[\mathbf{b},\mathbf{c}]⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->[\mathbf{a},\mathbf{b}],\mathbf{c}⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle {\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]\rangle =\langle [{\mathbf a},{\mathbf b}],{\mathbf c}\rangle$ 

• Смешанное произведение $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$$({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$  в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf{a},\mathbf{b}$${\mathbf {a}},{\mathbf {b}}$  и $\mathbf{c}$${\mathbf {c}}$ :

$({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$ 

• Смешанное произведение $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$$({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$  в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf{a},\mathbf{b}$${\mathbf {a}},{\mathbf {b}}$  и $\mathbf{c}$${\mathbf {c}}$ , взятому со знаком «минус»:

$({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$ 

В частности,

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл — Смешанное произведение $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$$({\mathbf {a}},{\mathbf {b}},{\mathbf {c}})$  по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами $\mathbf{a},\mathbf{b}$${\mathbf {a}},{\mathbf {b}}$  и $\mathbf{c}$${\mathbf {c}}$ ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
• Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими.

 

Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\underset{i,j,k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k$$({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c})=\sum _{{i,j,k}}\varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j}c^{k}$ 

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

ОбобщениеПравить

В $n$$n$ -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный $n$$n$ -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\dots <!--\; \dots \; -->)=\underset{i,j,k,\dots <!--\; \dots \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{ijk\dots <!--\; \dots \; -->}{a}^i{b}^j{c}^k\dots <!--\; \dots \; -->$$({\mathbf a},{\mathbf b},{\mathbf c},\ldots )=\sum _{{i,j,k,\ldots }}\varepsilon _{{ijk\ldots }}a^{i}b^{j}c^{k}\ldots$ 

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. такжеПравить

• Двойное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение
• Псевдоскалярное произведение

СсылкиПравить

• Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач