Функциональное уравнение Коши

Функциональное уравнение Коши для функции $f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ имеет вид

$f(x+y)=f(x)+f(y)$$f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только для вещественных.

Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида $f(x)=cx$$f(x)=cx$, где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дополнительные ограничения, накладываемые на $f$$f$, могут исключать возможность существования других решений. Например, линейные функции $f(x)=cx$$f(x)=cx$ оказываются единственно возможными решениями, если:

• $f$$f$ непрерывна (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 году Дарбу, который показал, что непрерывность функции необходима только в одной точке.
• $f$$f$ монотонна на некотором интервале.
• $f$$f$ ограничена сверху либо снизу на некотором интервале (частный случай: $f$$f$ сохраняет знак на некотором интервале).
• для некоторого интервала значений аргумента существует ненулевой интервал значений, которые функция $f$$f$ не принимает на этом интервале (более общий вариант предыдущего случая).
• $f$$f$ интегрируема (в частности, по Лебегу) на некотором интервале.
• $f$$f$ измерима на некотором интервале.

С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на $f$$f$, то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению (см. статью "Базис Гамеля"). Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора. Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.

Другие формы функционального уравнения КошиПравить

Следующие функциональные уравнения эквивалентны аддитивному уравнению Коши $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ :

• логарифмическое уравнение Коши $f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$$f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$  (одно из семейств решений имеет вид $f\left(x\right)=c\ln <!--\; \; -->\left|x\right|={\log }_a<!--\; \; -->\left|x\right|$$f\left(x\right)=c\ln \left|x\right|=\log _{a}\left|x\right|$ ).
• степенное уравнение Коши $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$$f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$  (одно из семейств решений имеет вид $f\left(x\right)={\left|x\right|}^a$$f\left(x\right)=\left|x\right|^{a}$ ).
• экспоненциальное уравнение Коши $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$  (одно из семейств решений имеет вид $f\left(x\right)=\exp <!--\; \; -->\left(cx\right)=a^x$$f\left(x\right)=\exp \left(cx\right)=a^{x}$ ).

Вырожденным решением этих уравнений является функция $f\left(x\right)=0$$f\left(x\right)=0$ .

Решение в рациональных числахПравить

Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$ :

$f(nx)=f(x+x+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x)=f(x)+f(x)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+f(x)=nf(x)$$f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)$ ,

$f\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{nf(x/n)}{n}=\frac{f(x)}{n}$$f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}$ .

Теперь положим $x=y=0$$x=y=0$  и $y=-<!--\; -\; -->x$$y=-x$ :

$f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->f(0)=0$$f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0$ ,

$f(0)=f(x)+f(-<!--\; -\; -->x)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->f(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->f(x)$$f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrow f(-x)=-f(x)$ .

Собрав всё вместе, получим:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q},x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}:f(ax)=af(x)$$\forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)$ .

Положив $x=1$$x=1$  и обозначив $c=f\left(1\right)$$c=f\left(1\right)$ , мы имеем единственное семейство решений $f(x)=cx$$f(x)=cx$  над $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ .

Существование нелинейных решенийПравить

Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.

Рассмотрим $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  как векторное пространство над полем $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ : в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  в разложении числа $x$$x$  по базису — это и будет значение $f(x)$$f(x)$ . Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ ) и не равна тождественно нулю ($f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=1$$f(\alpha )=1$ ), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.

В общем случае пусть $\{r_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}$$\{r_{\alpha }\}$  — базис Гамеля множества действительных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ . Тогда для каждого вещественного $x$$x$  существует разложение по базису Гамеля $x=k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{r}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}{r}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$  (где $k_i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}$$k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ ), причём такое разложение единственно с точностью до порядка членов разложения и членов с нулевыми множителями. Для аддитивной функции $f(x)$$f(x)$  должно быть выполнено условие $f(x)=k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{f}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+k_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}{f}_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ , где $f_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}=f(r_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n})$$f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$  будут фиксированными вещественными числами (за знак аддитивной функции можно выносить рациональные множители, см. предыдущий раздел). Очевидно, что функция $f(x)$$f(x)$ , заданная с помощью этого соотношения, при любом выборе вспомогательных чисел $f_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$f_{\alpha _{n}}$  удовлетворяет аддитивному уравнению Коши $f(x+y)=f(x)+f(y)$$f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Однако только в том случае, когда $f_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}\equiv <!--\; \equiv \; -->c\cdot <!--\; \cdot \; -->r_{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}$$f_{\alpha _{n}}\equiv c\cdot r_{\alpha _{n}}$ , где $c$$c$  это произвольное вещественное число, рассматриваемая функция оказывается линейной функцией.

Свойства нелинейных решенийПравить

Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график $y=f(x)$$y = f(x)$  должен быть всюду плотен в ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$ . Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.

Мы можем, поделив функцию на $c=f(1)$$c=f(1)$ , считать, что $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}:f(a)=a$$\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a$ . (Если $f(1)=0$$f(1)=0$ , то $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}:f(a)=0$$\forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=0$ , и рассуждения, приводимые ниже, сохраняют свою силу с минимальными изменениями, если предположить, что найдётся точка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\alpha \in \mathbb {R}$ , для которой $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\ne <!--\; \ne \; -->0$$f(\alpha )\neq 0$ .) Если функция $f(x)$$f(x)$  не линейна, то $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$f(\alpha )\neq \alpha$  для некоторого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\alpha \in \mathbb {R}$ : положим $f(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->},\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->0$$f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$ . Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке $(x,y)$$(x,y)$ , радиуса $r$$r$ , где $x,y,r\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q},r>0,x\ne <!--\; \ne \; -->y$$x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y$ . Ясно, что этого достаточно для плотности графика $y=f(x)$$y = f(x)$  всюду в ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$ .

Положим $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{y-<!--\; -\; -->x}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$\beta ={\frac {y-x}{\delta }}$  и выберем рациональное число $b\ne <!--\; \ne \; -->0$$b\neq 0$ , близкое к $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , таким образом, чтобы:

$\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}$ 

Затем выберем рациональное число $a$$a$ , близкое к $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , так, чтобы:

$\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}$ 

Теперь возьмем $X=x+b(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->a)$$X=x+b(\alpha -a)$  и, используя функциональное уравнение, получим:

$Y=f(X)=f(x+b(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->a))$$Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))$ 

$=x+bf(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})-<!--\; -\; -->bf(a)$$=x+bf(\alpha )-bf(a)$ 

$=y-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+bf(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})-<!--\; -\; -->bf(a)$$=y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)$ 

$=y-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+b(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})-<!--\; -\; -->ba$$=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba$ 

$=y+b(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->a)-<!--\; -\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->b)$$=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)$ 

Но тогда $(Y-y)^{2}+(X-x)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a))^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3}}\right)^{2}<r^{2}$ , то есть точка $(X,Y)$$(X,Y)$  оказалась внутри круга.

Также можно показать, что когда аддитивная функция $f(x)$$f(x)$  не является линейной, она будет разрывной в любой точке вещественной оси, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя, в соответствии с доказанным выше утверждением о плотности графика $y=f(x)$$y = f(x)$  всюду на плоскости ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$ , на любом сколь угодно малом интервале своими значениями всю числовую ось $\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)$$\left(-\infty ,+\infty \right)$  плотным образом.

ЛитератураПравить

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. — С. 82. — (Лекции по математической логике и теории алгоритмов).
• Решение функционального уравнения Коши — Rutgers University (англ.)