Плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, $A$$A$ плотно в $X$$X$, если всякая окрестность любой точки $x$$x$ из $X$$X$ содержит элемент из $A$$A$.

ОпределенияПравить

• Пусть даны топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$$(X,{\mathcal {T}})$  и два подмножества $A,B\subset <!--\; \subset \; -->X.$$A,B\subset X.$  Тогда множество $A$$A$  называется плотным во множестве $B$$B$ , если любая окрестность любой точки $B$$B$  содержит хотя бы одну точку из $A$$A$ , то есть

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->B\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}U\in <!--\; \in \; -->\mathcal{T}(x\in <!--\; \in \; -->U)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(U\cap <!--\; \cap \; -->A\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}).$$\forall x\in B\;\forall U\in {\mathcal {T}}\quad {\bigl (}x\in U{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A\neq \varnothing {\bigr )}.$ 

• Множество $A$$A$  называется всюду плотным, если оно плотно в $X.$$X.$ 

ЗамечаниеПравить

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество $A$$A$  плотно в $B$$B$  тогда и только тогда, когда замыкание $A$$A$  содержит $B$$B$ , то есть $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\supset <!--\; \supset \; -->B$${\bar {A}}\supset B$ . В частности, $A$$A$  всюду плотно, если $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}=B$${\bar {A}}=B$ .
• Множество $A$$A$  плотно в $B$$B$  тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к $A$$A$  не пересекается с $B$$B$ , то есть ${\left(A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\right)}^0\cap <!--\; \cap \; -->B=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\left(A^{\complement }\right)^{0}\cap B=\emptyset$ . В частности, $A$$A$  всюду плотно, если ${\left(A^{\mathrm{\complement <!--\; \complement \; -->}}\right)}^0=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\left(A^{\complement }\right)^{0}=\emptyset$ .

ПримерыПравить

• Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  плотно в пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ .

См. такжеПравить

• Нигде не плотное множество
• Сепарабельное пространство

ЛитератураПравить

• Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
• Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология Архивная копия от 19 февраля 2012 на Wayback Machine. Учебник в задачах (рус., англ.)