Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,\mathcal{F})$$(X,{\mathcal {F}})$  и $(Y,\mathcal{G})$$(Y,{\mathcal {G}})$  — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция $f:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f:X\to Y$  называется $\mathcal{F}/\mathcal{G}$${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$ -измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из $\mathcal{G}$${\mathcal {G}}$  принадлежит $\mathcal{F}$${\mathcal {F}}$ , то есть

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}B\in <!--\; \in \; -->\mathcal{G},f^{-<!--\; -\; -->1}(B)\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F},$$\forall B\in {\mathcal {G}},\;f^{{-1}}(B)\in {\mathcal {F}},$ 

где $f^{-<!--\; -\; -->1}(B)$$f^{-1}(B)$  означает прообраз множества $B$$B$ .

ЗамечанияПравить

• Если $X$$X$  и $Y$$Y$  — топологические пространства, и алгебры $\mathcal{F}$${\mathcal {F}}$  и $\mathcal{G}$${\mathcal {G}}$  явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
• Смысл данного определения в том, что если на множестве $X$$X$  задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество $Y$$Y$ .

Вещественнозначные измеримые функцииПравить

Пусть дана функция $f:(X,\mathcal{F})\to <!--\; \to \; -->(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$f:(X,{\mathcal {F}})\to ({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$ . Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

• Функция $f$$f$  измерима, если

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}c\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},\{x\in <!--\; \in \; -->X\mid <!--\; \mid \; -->f(x)>c\}\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F}$$\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\ >c\}\in {\mathcal {F}}$ .

• Функция $f$$f$  измерима, если

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\forall a,b\in {\mathbb {R}}$ , таких что $a\le <!--\; \le \; -->b$$a\leq b$ , имеем $\{x\in <!--\; \in \; -->X\mid <!--\; \mid \; -->f(x)\in <!--\; \in \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->a,b⟩<!--\; ⟩\; -->\}\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F}$$\{x\in X\mid f(x)\in \langle a,b\rangle \}\in {\mathcal {F}}$ ,

где $⟨<!--\; ⟨\; -->a,b⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle a,b\rangle$  обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определенияПравить

• Пусть $(X,\mathcal{F})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$(X,{\mathcal {F}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$  и $(Y,\mathcal{G})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$(Y,{\mathcal {G}})=({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$  — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция $f:(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\to <!--\; \to \; -->(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$f:({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))\to ({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}))$  называется борелевской.
• Измеримая функция $f:(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F})\to <!--\; \to \; -->(Y,\mathcal{G})$$f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$ , где $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  — множество элементарных исходов, а $\mathcal{F}$${\mathcal {F}}$  — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой $(Y,\mathcal{G})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$$(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ .

ПримерыПравить

• Пусть $f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$  — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
• Пусть $f:(X,\mathcal{F})\to <!--\; \to \; -->(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),$$f:(X,{\mathcal {F}})\to ({\mathbb {R}},{\mathcal {B}}({\mathbb {R}})),$  и $f(x)={\mathbf{1}}_A(x),x\in <!--\; \in \; -->X$$f(x)={\mathbf {1}}_{A}(x),\;x\in X$  — индикатор множества $A\notin \mathcal{F}.$$A\not \in {\mathcal {F}}.$  Тогда функция $f$$f$  не является измеримой.

СвойстваПравить

• Теорема Лузина. Функция $f:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$  измерима тогда и только тогда, когда для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует непрерывная функция $h:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$  отличающаяся от $f$$f$  на множестве меры не больше $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ .

ИсторияПравить

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

ЛитератураПравить

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
• Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
• Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.