Флаг (математика)

Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства $L$$L$ (или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид

$L_0\subset <!--\; \subset \; -->L_1\subset <!--\; \subset \; -->L_2\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->L_k=L,$$L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,$

где

$0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.$

Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором $\dim <!--\; \; -->L_i=i$$\dim L_{i}=i$, и следовательно, число $k=\dim <!--\; \; -->L.$$k=\dim L.$ Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже).

Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией).

Полный флагПравить

Полным флагом в векторном пространстве $L$$L$  конечной размерности $n$$n$  называется последовательность подпространств

$L_0\subset <!--\; \subset \; -->L_1\subset <!--\; \subset \; -->L_2\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->L_n,\dim <!--\; \; -->L_i=i,$$L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,$ 

где подпространство $L_0$$L_0$  состоит лишь из нулевого вектора, подпространство $L_n$$L_{n}$  совпадает со всем $L$$L$  $(L_n=L)$$(L_{n}=L)$ , и каждая пара соседних подпространств $(L_i,L_{i-<!--\; -\; -->1})$$(L_{i},L_{i-1})$  является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство $L_{i-<!--\; -\; -->1}$$L_{i-1}$  разбивает $L_i$$L_{i}$ , выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).

 

Базисы $e_1,e_2$$e_{1},e_{2}$  и $e_1,e_2^{\prime }$$e_{1},e'_{2}$  задают один и тот же флаг на плоскости

Каждый базис $e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n$$e_{1},\ldots ,e_{n}$  векторного пространства $L$$L$  определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим $L_i=⟨<!--\; ⟨\; -->e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_i⟩<!--\; ⟩\; -->$$L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$  (здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары $(L_i,L_{i-<!--\; -\; -->1})$$(L_{i},L_{i-1})$  выберем то полупространство, которое содержит вектор $e_i$$e_{i}$ .

Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы $e_1,e_2$$e_{1},e_{2}$  и $e_1,e_2^{\prime }$$e_{1},e'_{2}$  на плоскости определяют один и тот же полный флаг). Однако если векторное пространство $L$$L$  является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами.

Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства $L$$L$  существует единственное ортогональное преобразование $A:L\to <!--\; \to \; -->L$$A:L\to L$ , переводящее первый флаг во второй.

Флаги в аффинных пространствах и геометрии ЛобачевскогоПравить

Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности $n$$n$ :

$L_0\subset <!--\; \subset \; -->L_1\subset <!--\; \subset \; -->L_2\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->L_n,\dim <!--\; \; -->L_i=i,$$L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,$ 

где подпространство $L_0$$L_0$  состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского), называемой центром флага, подпространство $L_n$$L_{n}$  совпадает со всем $L$$L$  $(L_n=L)$$(L_{n}=L)$ , и каждая пара $(L_i,L_{i-<!--\; -\; -->1})$$(L_{i},L_{i-1})$  является направленной.

Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной подвижностью пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.

ГнездоПравить

В бесконечномерном пространстве V идея флага обобщается до гнезда. А именно, набор подпространств, вполне упорядоченных по включению замкнутых подпространств, называется гнездом^[en].

ЛитератураПравить

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.