Абелева группа

Запрос «Неабелева группа» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа $(G,\ast <!--\; \ast \; -->)$$(G,\;*)$ абелева, если $a\ast <!--\; \ast \; -->b=b\ast <!--\; \ast \; -->a$$a*b=b*a$ для любых двух элементов $a,b\in <!--\; \in \; -->G$$a,\;b\in G$.

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком $+$$+$ и называется сложением

Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.

ПримерыПравить

• Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
• Любая циклическая группа $G=⟨<!--\; ⟨\; -->a⟩<!--\; ⟩\; -->$$G=\langle a\rangle$  абелева. Действительно, для любых $x=a^n$$x=a^{n}$  и $y=a^m$$y=a^{m}$  верно, что

  $xy=a^m{a}^n=a^{m+n}=a^n{a}^m=yx$$xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .

  • В частности, множество $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.$$\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$ 
• Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  вещественных чисел с операцией сложения чисел.
• Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определенияПравить

• По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

СвойстваПравить

• Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
  • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
• Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть $n$$n$  — натуральное число, а $x$$x$  — элемент коммутативной группы $G$$G$  с операцией, обозначаемой +, тогда $nx$$nx$  можно определить как $x+x+\dots <!--\; \dots \; -->+x$$x+x+\ldots +x$  ($n$$n$  раз) и $(-<!--\; -\; -->n)x=-<!--\; -\; -->(nx)$$(-n)x=-(nx)$ .
  • Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$ ), зачастую могут быть обобщены на модули над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечнопорождённых абелевых групп, которую можно обобщить до классификации произвольных конечнопорождённых модулей над областью главных идеалов.
• Множество гомоморфизмов $\mathrm{Hom}<!--\; \; -->(G,H)$$\operatorname {Hom}(G,\;H)$  всех групповых гомоморфизмов из $G$$G$  в $H$$H$  само является абелевой группой. Действительно, пусть $f,g:G\to <!--\; \to \; -->H$$f,\;g:G\to H$  — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма $f+g$$f+g$ , заданная как $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если $H$$H$  не является коммутативной группой).
• Понятие абелевости тесно связано с понятием центра $Z(G)$$Z(G)$  группы $G$$G$  — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы $G$$G$ , и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группыПравить

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. ${\mathbb{Z}}_{mn}$$\mathbb{Z } _{{mn}}$  изоморфно прямой сумме ${\mathbb{Z}}_m$$\mathbb{Z } _{m}$  и ${\mathbb{Z}}_n$$\mathbb {Z} _{n}$  тогда и только тогда, когда $m$$m$  и $n$$n$  взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу $G$$G$  в форме прямой суммы

${\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus <!--\; \oplus \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{Z}}_{k_u}$$\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}$ 

двумя различными способами:

• Где числа $k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_u$$k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$  степени простых
• Где $k_1$$k_{1}$  делит $k_2$$k_{2}$ , которое делит $k_3$$k_{3}$ , и так далее до $k_u$$k_{u}$ .

Например, $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}={\mathbb{Z}}_{15}$$\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$  может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}=\{0,5,10\}\oplus <!--\; \oplus \; -->\{0,3,6,9,12\}$$\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$ . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщенияПравить

• Дифференциальной группой называется абелева группа $\mathbf{C}$${\mathbf {C}}$ , в которой задан такой эндоморфизм $d:<!--\; :\; -->\mathbf{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{C}$$d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ , что $d^2=0$$d^{2}=0$ . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра $\ker d$$\ker \,d$  — циклами, элементы образа $\mathrm{I}\mathrm{m}d$${\mathrm {Im}}\,d$  — границами.
• Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
• Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
• Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
• Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
• Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.

См. такжеПравить

• Алгебраическая система

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
• Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.