Параллельный перенос

Паралле́льный перено́с иногда трансляция (от лат. translatio — перенос,перемещение) ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

ОпределениеПравить

Параллельный перенос ― перемещение всех точек пространства в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Если $M$$M$  ― первоначальное положение, а $M^{\prime }$$M'$  ― смещённое в результате переноса положение точки, то вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M{M}^{\prime }}$${\overrightarrow {MM'}}$  ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.

Параллельный перенос на вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$$\vec a$  обозначается как $T_{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}$$T_{\vec {a}}$  (от лат. translatio - перенос,перемещение)

 

Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на одно и то же расстояние в одном и том же направлении.

Координатное представлениеПравить

На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат $(x,y)$$(x,\;y)$  при помощи

$(x,y)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(x+a,y+b),$${\textstyle (x,\;y)\mapsto (x+a,\;y+b),}$ 

где вектор $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M{M}^{\prime }}=(a,b)$${\overrightarrow {MM'}}=(a,\;b)$ .

СвойстваПравить

• Две различные точки и их образы, полученные параллельным переносом, являются вершинами параллелограмма, в котором отрезок, соединяющий две начальные точки, образует одну сторону, а отрезок, соединяющий два их образа — противоположную ей сторону.
• У параллельного переноса нет неподвижных точек (если только это не тождественное преобразование, либо если прямая или плоскость не параллельны вектору параллельного переноса (т.к. именно он определяет направление переноса)).
• Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований.
• Параллельный перенос сохраняет направления ( т.е. для любого вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$${\vec {a}}$  верно, что $f(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a})=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}$$f({\vec {a}})={\vec {a}}$ )
• Преобразование, обратное к параллельному переносу $T_{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}$$T_{\vec {a}}$  есть $T_{-<!--\; -\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}$$T_{-{\vec {a}}}$ 
• Композиция параллельных переносов $T_{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}}$$T_{\vec {a}}$  и $T_{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}}$$T_{\vec {b}}$  есть $T_{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{a}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{b}}$$T_{{\vec {a}}+{\vec {b}}}$ 
• Параллельный перенос переводит прямую в себя или в параллельную ей прямую, а плоскость - в себя или в параллельную ей плоскость.
• Параллельный перенос $T_{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{0}}$$T_{\vec {0}}$  - это тождественное преобразование.

Вариации и обобщенияПравить

• Параллельное перенесение — обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств.
• Поступательное движение — движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос.
• Трансляция (кристаллография)
• Трансляционная симметрия