Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов

Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов является обобщением теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп. Эта теорема предоставляет общий способ понимания некоторых результатов о канонических формах матриц.

ТеоремаПравить

Если векторное пространство над полем k имеет конечное порождающее множество, из него всегда можно выбрать базис, так что векторное пространство будет изоморфно kⁿ. Для конечнопорождённых модулей это уже неверно (контрпример — ${\mathbb{Z}}_2$$\mathbb Z_2$ , который порождается одним элементом как Z-модуль), однако такой модуль можно представить как фактормодуль вида Rⁿ/A (чтобы увидеть это, достаточно отобразить базис Rⁿ в порождающее множество и воспользоваться теоремой о гомоморфизме). Изменяя выбор базиса в Rⁿ и порождающего множества в модуле, можно привести этот фактор к простому виду, и это даёт структурную теорему.

Формулировка структурной теоремы обычно приводится в двух различных видах.

Разложение на инвариантные факторыПравить

Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида

$\underset{i}{⨁<!--\; ⨁\; -->}R/(d_i)=R/(d_1)\oplus <!--\; \oplus \; -->R/(d_2)\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->R/(d_n),$$\bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}),$ 

где $(d_i)\ne <!--\; \ne \; -->R$$(d_i) \neq R$  и $d_i|d_{i+1}$$d_i \vert d_{i+1}$  (то есть $d_{i+1}$$d_{i+1}$  делится на $d_i$$d_{i}$ ). Порядок ненулевых $(d_i)$$(d_i)$  определён однозначно, как и число $(d_i)=0$$(d_i)=0$ .

Таким образом, для указания конечнопорождённого модуля M достаточно указать ненулевые $(d_i)$$(d_i)$  (удовлетворяющие двум условиям) и число равных нулю $(d_i)$$(d_i)$ . Элементы $d_i$$d_{i}$  определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца и называются инвариантными факторами.

Разложение на примарные факторыПравить

Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида

$\underset{i}{⨁<!--\; ⨁\; -->}R/(q_i),$$\bigoplus _{i}R/(q_{i}),$ 

где $(q_i)\ne <!--\; \ne \; -->R$$(q_i) \neq R$  и все $(q_i)$$(q_i)$  — примарные идеалы. При этом сами $q_i$$q_{i}$  определены однозначно (с точностью до умножения на обратимые элементы).

В случае, когда кольцо R является евклидовым, все примарные идеалы — это степени простых, то есть $(q_i)=(p_i^{r_i})$$(q_i)=(p_i^{r_i})$ .

Набросок доказательства для евклидовых колецПравить

Многие области главных идеалов являются также евклидовыми кольцами. К тому же, доказательство для евклидовых колец несколько проще; здесь приводятся его основные шаги.

Лемма. Пусть A — евклидово кольцо, M — свободный A-модуль, а N — его подмодуль. Тогда N также свободен, его ранг не превосходит ранга M, причём существует такой базис {e₁, e₂, … e_m} модуля M и такие ненулевые элементы {u₁, … u_k} кольца A, что {u₁e₁, … u_ke_k} — базис N и u_i+1 делится на u_i.

Доказательство того, что N свободен, проводится индукцией по m. База m = 0 очевидна, докажем шаг индукции. Пусть M₁ порождён элементами {e₁, … e_m-1}, N₁ — пересечение M₁ и N — по предположению индукции свободен. Последние координаты элементов N в базисе {e₁, … e_m} образуют подмодуль кольца A (то есть идеал), A — кольцо главных идеалов, поэтому этот идеал порождён одним элементом; если идеал нулевой — N совпадает с N₁, если же он порождён элементом k, достаточно добавить в базис N₁ один вектор, последняя координата которого равна k.

Теперь мы можем написать матрицу с элементами из A, соответствующую вложению N в M: в столбцах матрицы запишем координаты базисных бекторов N в некотором базисе M. Опишем алгоритм приведения этой матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями. Меняя местами строки и столбцы, переместим в верхний левый угол ненулевой элемент a с наименьшей нормой. Если все элементы матрицы на него делятся — вычитаем первую строку из остальных с таким коэффициентом, чтобы все элементы первого столбца (кроме первого элемента) стали нулевыми; затем аналогичным образом вычитаем первый столбец и переходим к преобразованиям оставшегося в правом нижнем углу квадрата, размерность которого на единицу меньше. Если же есть элемент b, не делящийся на a — мы можем уменьшить минимум нормы по ненулевым элементам матрицы, применив к паре (a, b) алгоритм Евклида (элементарные преобразования позволяют это сделать). Поскольку норма — натуральное число, мы рано или поздно придём к ситуации, когда все элементы матрицы делятся на a. По окончании работы этого алгоритма базисы M и N удовлетворяют всем условиям леммы.

Окончание доказательства. Рассмотрим конечнопорождённый модуль T с системой порождающих {e₁, … e_m}. Существует гомоморфизм из свободного модуля $A^m$$A^m$  в этот модуль, отображающий базис $A^m$$A^m$  в систему порождающих. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получим, что T изоморфен фактору $A^m/\text{ker}f$$A^m / \text{ker}f$ . Приведём базисы $A^m$$A^m$  и $\text{ker}f$$\text{ker}f$  к виду базисов в лемме. Легко видеть, что

$A^m/(u_1{e}_1,u_2{e}_2,\dots <!--\; \dots \; -->u_k{e}_k)\cong <!--\; \cong \; -->A/(u_1)\oplus <!--\; \oplus \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->A/(u_k)\oplus <!--\; \oplus \; -->A^{n-<!--\; -\; -->k}$$A^m / (u_1e_1, u_2e_2, \ldots u_ke_k) \cong A/(u_1) \oplus \ldots \oplus A/(u_k) \oplus A^{n-k}$ 

Каждое конечное слагаемое здесь можно разложить в произведение примарных, так как кольцо A факториально (см. статью Китайская теорема об остатках). Чтобы доказать единственность этого разложения, нужно рассмотреть подмодуль кручения (тогда размерность свободной части описывается в инвариантных терминах как размерность фактора по кручению), а также подмодуль p-кручения для каждого простого элемента p кольца A. Число слагаемых вида $A/(p^n)$$A/(p^n)$  (для всех n) инвариантно описывается как размерность подмодуля элементов, аннулируемых умножением на p, как векторного пространства над полем $A/(p)$$A/(p)$ .

СледствияПравить

Случай $R=\mathbb{Z}$$R=\mathbb{Z}$  даёт классификацию конечнопорождённых абелевых групп.

Пусть T — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве V над полем K. V можно рассматривать как модуль над $K[T]$$K[T]$  (действительно, его элементы можно умножать на скаляры и на T), из конечномерности следует конечнопорождённость и отсутствие свободной части. Последний инвариантный фактор — минимальный многочлен, а произведение всех инвариантных факторов — характеристический многочлен. Выбрав стандартную форму матрицы оператора T, действующего на пространстве $K[T]/p(T)$$K[T]/p(T)$ , получаем следующие формы матрицы T на пространстве V:

• инвариантные факторы + сопровождающая матрица даёт фробениусову нормальную форму
• примарные факторы + жорданова клетка даёт жорданову нормальную форму (в случае, когда поле K алгебраически замкнуто).

См. такжеПравить

• Нормальная форма Смита

ПримечанияПравить

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 3. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966. Глава VII.
• Винберг Э. Б., Курс алгебры. — М.: Изд-во´Факториал Пресс, 2001.
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3.
• Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, New York: Springer, с. 218–226, Section IV.6: Modules over a Principal Ideal Domain, ISBN 978-0-387-90518-1