Конечнопорождённая абелева группа

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа $(G,+)$$(G,+)$, для которой существует конечный набор $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_s\in <!--\; \in \; -->G$$x_{1},\dots ,x_{s}\in G$, такой что $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->G$$\forall x\in G$ существует представление:

$x=n_1{x}_1+n_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+n_s{x}_s$$x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\dots +n_{s}x_{s}$,

где $n_1,\dots <!--\; \dots \; -->,n_s$$n_{1},\dots ,n_{s}$ — целые числа.

Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа $(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb {Z} ,+)$ и числа по модулю $({\mathbb{Z}}_n,+)$$(\mathbb {Z} _{n},+)$, любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации^[⇨], других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа $(\mathbb{Q},+)$$(\mathbb {Q} ,+)$ рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_s\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}$$x_{1},\dots ,x_{s}\in \mathbb {Q}$, то достаточно было бы взять натуральное число $w$$w$, взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить $1/w$$1/w$, не порождаемое системой $\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_s\}$$\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$.

КлассификацияПравить

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа $G$$G$  изоморфна прямой сумме простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:

${\mathbb{Z}}^n\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{Z}}_{m_1}\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{Z}}_{m_t}$$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}}$ ,

где $n⩾<!--\; ⩾\; -->0$$n \geqslant 0$ , и числа $m_1,\dots <!--\; \dots \; -->,m_t$$m_{1},\dots ,m_{t}$  являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения $n,m_1,\dots <!--\; \dots \; -->,m_t$$n,m_{1},\dots ,m_{t}$  однозначно определены (с точностью до порядка) группой $G$$G$ , в частности, $G$$G$  конечна тогда и только тогда, когда $n=0$$n=0$ .

На основании того факта что $G_m$$G_{m}$  будет изоморфно произведению $G_j$$G_{j}$  и $G_k$$G_{k}$  тогда и только тогда, когда $j$$j$  и $k$$k$  взаимно просты и $m=jk$$m=jk$ , мы также можем представить любую конечнопорождённую группу $G$$G$  в форме прямой суммы

${\mathbb{Z}}^n\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{Z}}_{k_1}\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->{\mathbb{Z}}_{k_u}$$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \dots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$ ,

где $k_1$$k_{1}$  делит $k_2$$k_{2}$ , который делит $k_3$$k_{3}$  и так далее до $k_u$$k_{u}$ . И снова, числа $n$$n$  и $k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_u$$k_{1},\dots ,k_{u}$  однозначно заданы группой $G$$G$ .

ЛитератураПравить

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.