Эндоморфизм

Эндоморфизм — морфизм объекта категории в себя, в контексте универсальной алгебры — гомоморфизм, отображающий алгебраическую систему в себя.

В любой категории композиция двух эндоморфизмов $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что все эндоморфизмы для объекта $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ образуют моноид, который обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\operatorname {End} (X)$ $\operatorname {End}(X)$ (или $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\operatorname {End} _{C}(X)$ $\operatorname {End}_{C}(X)$ , чтобы подчеркнуть категорию $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $C$ $C$ ).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\operatorname {End} (X)$ $\operatorname {End}(X)$ с естественной структурой группы, оно обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\operatorname {Aut} (X)$ $\operatorname {Aut}(X)$ .

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ . С определённым таким образом сложением эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов. Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {Z} ^{n}$ ${\mathbb Z}^{n}$ — это кольцо всех $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n\times n$ $n\times n$ матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.

ЛитератураПравить

Nathan Jacobson. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1.
Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.