Кольцо Крулля

Кольцо Крулля — коммутативное кольцо с относительно хорошими свойствами разложения на простые. Впервые были исследованы Вольфгангом Круллем в 1931 году. Кольца Крулля являются многомерным обобщением дедекиндовых колец: дедекиндово кольцо — это в точности кольцо Крулля размерности не более 1.

В этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

ОпределениеПравить

Пусть $A$$A$  — область целостности, а $P$$P$  — множество всех простых идеалов $A$$A$  высоты 1, то есть простых идеалов, не содержащих других ненулевых простых идеалов. $A$$A$  является кольцом Крулля тогда и только тогда, когда:

1. $A_{\mathfrak{p}}$$A_{\mathfrak {p}}$  — кольцо дискретного нормирования для всех $\mathfrak{p}\in <!--\; \in \; -->P$${\mathfrak {p}}\in P$ ,
2. $A$$A$  равняется пересечению этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных $A$$A$ ).
3. Любой ненулевой элемент $A$$A$  содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1.

СвойстваПравить

Кольцо Крулля факториально тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным.

Пусть $A$$A$  — кольцо Зарисского (например, нётерово локальное кольцо). Если пополнение $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}$$\widehat {A}$  — кольцо Крулля, то и $A$$A$  — кольцо Крулля.

ПримерыПравить

• Любое целозамкнутое нётерово кольцо является кольцом Крулля. В частности, дедекиндовы кольца являются кольцами Крулля. Обратно, все кольца Крулля целозамкнуты, так что для нётерова кольца свойство «быть кольцом Крулля» эквивалентно свойству «быть целозамкнутым».
• Если $A$$A$  — кольцо Крулля, то кольцо многочленов $A[x]$$A[x]$  и кольцо формальных степенных рядов $A[[x]]$$A[[x]]$  являются кольцами Крулля.
• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных $R[x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->]$$R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$  над факториальным кольцом $R$$R$  — пример кольца Крулля, не являющегося нётеровым. Более общо, все факториальные кольца являются кольцами Крулля.
• Пусть $A$$A$  — нётерова область с полем частных $K$$K$ , и $L$$L$  — конечное расширение $K$$K$ . Тогда целое замыкание $A$$A$  в $L$$L$  — кольцо Крулля (частный случай теоремы Мори — Нагаты).

Группа классов дивизоровПравить

Все дивизорные идеалы кольца Крулля разлагаются (единственным образом) в произведение простых идеалов высоты 1, так что группу $D(A)$$D(A)$  можно рассматривать как группу формальных линейных комбинаций (с целыми коэффициентами) простых идеалов высоты 1. Главные дивизоры образуют подгруппу $D(A)$$D(A)$ , фактор по этой группе называется группой классов дивизоров. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо $A$$A$  факториально.

Дивизор Картье — это локально главный дивизор. Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров $D(A)$$D(A)$ . Все главные дивизоры являются дивизорами Картье, фактор дивизоров Картье по ним — это группа Пикара^[en] обратимых пучков на $Spec(A)$$Spec(A)$ .

Пример: в кольце $k[x,y,z]/(xy-<!--\; -\; -->z^2)$$k[x,y,z]/(xy-z^{2})$  группа классов дивизоров имеет порядок 2 (порождена дивизором $y=z$$y=z$ ), тогда как группа Пикара тривиальна.

ЛитератураПравить

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Krull ring, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. — ISBN 0-521-25916-9.
• Samuel, Pierre. Lectures on unique factorization domains (англ.). Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research (1964). Дата обращения: 29 июля 2013.