Дедекиндово кольцо

В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.

Поле — это целостное кольцо, в котором нет ненулевых собственных идеалов, поэтому предыдущее свойство, строго говоря, выполняется. Некоторые авторы добавляют в определение дедекиндова кольца условие «не являющееся полем»; многие другие авторы следуют неявному соглашению, что формулировки всех теорем для дедекиндовых колец можно тривиальным образом подправить, так, чтобы они выполнялись и для полей.

Из определения немедленно следует, что всякая область главных идеалов — дедекиндово кольцо. Дедекиндово кольцо является факториальным тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.

Предыстория появления понятияПравить

В XIX веке стало распространённой техникой использование колец алгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, в попытке определить, какие целые числа представимы в виде $x^2+m{y}^2$$x^{2}+my^{2}$ , довольно естественно разложить квадратичную форму на множители $(x+\sqrt{-<!--\; -\; -->m}y)(x-<!--\; -\; -->\sqrt{-<!--\; -\; -->m}y)$$(x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)$ , разложение происходит в кольце целых квадратичного поля $\mathbb{Q}(\sqrt{-<!--\; -\; -->m})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})$ . Сходным образом, для натурального $n$$n$  многочлен $z^n-<!--\; -\; -->y^n$$z^{n}-y^{n}$  (который возникает при решении уравнения Ферма $x^n+y^n=z^n$$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ) можно разложить в кольце $\mathbb{Z}[{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_n]$$\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ , где ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_n$$\zeta _{n}$  — примитивный $n$$n$ -й корень из единицы.

При малых значениях $m$$m$  и $n$$n$  эти кольца целых являются областями главных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичного успеха Ферма ($m=1,n=4$$m=1,n=4$ ) и Эйлера ($m=2,3,n=3$$m=2,3,n=3$ ) в решении этих двух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных форм была известна процедура проверки кольца целых квадратичного поля $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$  на свойство «быть областью главных идеалов». Гаусс изучал случай $D<0$ : он нашел девять значений $D$$D$ , удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).

К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеалов слишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое. Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно много положительных простых $p$$p$ , таких что кольцо целых поля $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$  — область главных идеалов; однако к сегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! С другой стороны, кольцо целых числового поля всегда является дедекиндовым.

Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовость является локальным свойством: нётерово кольцо $R$$R$  является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальному идеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретного нормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость — это глобализация свойства дискретного нормирования.

Эквивалентные определенияПравить

Для целостного кольца $R$$R$ , не являющегося полем, следующие утверждения эквивалентны:

• Каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых;
• $R$$R$  нётерово и его локализация по любому максимальному идеалу — кольцо дискретного нормирования;
• Любой дробный идеал кольца $R$$R$  обратим;
• $R$$R$  целозамкнуто, нётерово, и его размерность Крулля равна единице.

Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца: дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольца Крулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовал Н. Бурбаки в «Коммутативной алгебре».

ПримерыПравить

Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования дедекиндовы.

Кольцо $R={\mathcal{O}}_K$$R={\mathcal {O}}_{K}$  алгебраических целых чисел числового поля K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеала I кольца R, R/I конечно, а конечные целостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Это основной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.

Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляет алгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C дедекиндово. Действительно, это просто перевод геометрических терминов на алгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, по определению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно, нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отсутствия особенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.

Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:

Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частных K, L — конечное расширение K, а S — целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндово кольцо.

Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целых числового поля. R = k[x] соответствует случаю алгебраических кривых без особенностей.

Дробные идеалы и группа классов идеаловПравить

Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробный идеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, для которого существует ненулевой x из K, такой что $xI\subset <!--\; \subset \; -->R.$$xI\subset R.$ 

Для двух дробных идеалов I, J можно определить их произведение IJ как множество всех конечных сумм $\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{i}_n{j}_n,i_n\in <!--\; \in \; -->I,j_n\in <!--\; \in \; -->J$$\sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\in I,\ j_{n}\in J$ : произведение IJ также является дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, таким образом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом: тождественный элемент — дробный идеал R.

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

$I^{\ast <!--\; \ast \; -->}=(R:I)=\{x\in <!--\; \in \; -->K|xI\subset <!--\; \subset \; -->R\}.$$I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subset R\}.$ 

Очевидно, $I^{\ast <!--\; \ast \; -->}I\subset <!--\; \subset \; -->R$$I^{*}I\subset R$ . Равенство достигается, когда I обратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если I имеет обратный элемент, то этот обратный — $I^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$I^*$ .

Главный дробный идеал — это дробный идеал вида $xR$$xR$  для ненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратный для $xR$$xR$  — это просто $\frac{1}{x}R$${\frac {1}{x}}R$ . Обозначим подгруппу главных дробных идеалов Prin(R).

Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) = Prin(R) = $K^{\ast <!--\; \ast \; -->}/R^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K^{*}/R^{*}$ , поскольку $xR$$xR$  и $yR$$yR$  совпадают тогда и только тогда, когда $x{y}^{-<!--\; -\; -->1}$$xy^{-1}$  — обратимый элемент R.

Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноид Frac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всего лишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac(R)/Prin(R) обратим тогда и только тогда, когда I сам по себе обратим.

Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца: в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждый дробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это класс колец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группой классов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и только тогда, когда R — область главных идеалов.

Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Конечнопорожденные модули над дедекиндовыми кольцамиПравить

Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественно выяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.

Напомним формулировку структурной теоремы для модуля $M$$M$  над областью главных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения $T$$T$  как множество таких элементов $m$$m$  кольца $M$$M$ , что $rm=0$$rm=0$  для некоторого ненулевого $r$$r$  из $R$$R$ . Тогда:

(1) $T$$T$  можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид $R/I$$R/I$  для некоторого ненулевого идеала $I$$I$  кольца $R$$R$ . По китайской теореме об остатках, каждый $R/I$$R/I$  можно разложить в прямую сумму модулей вида $R/P^i$$R/P^{i}$ , где $P^i$$P^{i}$  — степень простого идеала. Получившееся разложение модуля $T$$T$  единственно с точностью до порядка сомножителей.

(2) Существует дополняющий подмодуль $P$$P$  модуля $M$$M$ , такой что $M=T\oplus <!--\; \oplus \; -->P$$M=T\oplus P$ .

(3) $P$$P$  изоморфен $R^n$$R^{n}$  для однозначно определённого неотрицательного целого $n$$n$ . В частности, $P$$P$  — конечнопорождённый свободный модуль.

Теперь пусть $M$$M$  — конечнопорождённый модуль над дедекиндовым кольцом. Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3) следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. В частности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными. Иными словами, нетривиальность группы классов идеалов Cl[R] противоречит (3). Оказывается, что число «дополнительных» конечнопорождённых модулей без кручения можно проконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольного конечнопорождённого модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение

(3') $P$$P$  изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1: $P\cong <!--\; \cong \; -->I_1\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->I_r$$P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}$ . Более того, для любых проективных модулей ранга 1 $I_1,\dots <!--\; \dots \; -->,I_r,J_1,\dots <!--\; \dots \; -->,J_s$$I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}$ 

$I_1\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->I_r\cong <!--\; \cong \; -->J_1\oplus <!--\; \oplus \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\oplus <!--\; \oplus \; -->J_s$$I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}$ 

выполняется тогда и только тогда, когда

$r=s$$r=s$ 

и

$I_1\otimes <!--\; \otimes \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\otimes <!--\; \otimes \; -->I_r\cong <!--\; \cong \; -->J_1\otimes <!--\; \otimes \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\otimes <!--\; \otimes \; -->J_s.$$I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.$ 

Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтому последнее условие можно переформулировать как

$[I_1\cdots <!--\; \cdots \; -->I_r]=[J_1\cdots <!--\; \cdots \; -->J_s]\in <!--\; \in \; -->Cl(R).$$[I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).$ 

Следовательно, конечнопорождённый модуль ранга $n>0$$n>0$  без кручения можно записать в виде $R^{n-<!--\; -\; -->1}\oplus <!--\; \oplus \; -->I$$R^{n-1}\oplus I$ , где $I$$I$  — проективный модуль ранга 1. Класс Штайница модуля P над R — это класс $[I]$$[I]$  идеала $I$$I$  в группе Cl(R), он однозначно определён. Из этого следует

Теорема. Пусть R — дедекиндово кольцо. Тогда $K_0(R)\cong <!--\; \cong \; -->\mathbb{Z}\oplus <!--\; \oplus \; -->Cl(R)$$K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)$ , где K₀(R) — группа Гротендика коммутативного моноида конечнопорождённых проективных R-модулей.

Эти результаты были установлены Эрнстом Штайницем в 1912 году.

ЛитератураПравить

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
• Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
• Claborn, Luther (1965), Dedekind domains and rings of quotients, Pacific J. Math. Т. 15: 59–64, <http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102995991>  Архивная копия от 7 июня 2011 на Wayback Machine
• Claborn, Luther (1966), Every abelian group is a class group, Pacific J. Math. Т. 18: 219–222, <http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102994263>  Архивная копия от 7 июня 2011 на Wayback Machine
• Clark, Pete L. (2009), Elliptic Dedekind domains revisited, L'Enseignement Mathematique Т. 55: 213–225, <http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf>  Архивная копия от 16 мая 2018 на Wayback Machine
• Fröhlich, A. & Taylor, M.J. (1991), II. Dedekind domains, Algebraic number theory, vol. 27, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, с. 35-101, ISBN 0-521-36664-X 
• Leedham-Green, C.R. (1972), The class group of Dedekind domains, Trans. Amer. Math. Soc. Т. 163: 493–500, DOI 10.2307/1995734 
• Rosen, Michael (1976), Elliptic curves and Dedekind domains, Proc. Amer. Math. Soc. Т. 57 (2): 197–201, DOI 10.2307/2041187 
• Steinitz, E. (1912), Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern, Math. Ann. Т. 71 (3): 328–354, DOI 10.1007/BF01456849