Кольцо дискретного нормирования

Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.

Кольцо дискретного нормирования — это целостное кольцо R, удовлетворяющее одному из следующих (эквивалентных) условий:

1) R — локальная область главных идеалов, не являющаяся полем.

2) R — локальное дедекиндово кольцо, не являющееся полем.

3) R — нётерово локальное кольцо, размерность Крулля которого равна единице, а единственный максимальный идеал — главный.

4) R — целозамкнутое одномерное нётерово локальное кольцо.

5) R — область главных идеалов с единственным ненулевым простым идеалом.

6) R — факториальное кольцо с единственным неразложимым элементом (с точностью до взятия ассоциированных).

7) Существует дискретное нормирование поля частных кольца R, такое что R совпадает со множеством элементов с неотрицательной нормой.

ПримерыПравить

• Обозначим ${\mathbb{Z}}_{(2)}=\{p/q|p,q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z},q⋮<!--\; ⋮\; --≯2\}.$$\mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\not \vdots \;2\}.$  Поле частных этого кольца — всё $\mathbb{Q}.$${\mathbb Q}.$  Разложим числитель и знаменатель произвольного рационального $r$$r$  на простые и представим его в виде $2^{k}p/q$$2^{k}p/q$  с нечётными $p,q$$p,q$ , положим $v(r)=k.$$v(r)=k.$  Тогда ${\mathbb{Z}}_{(2)}$$\mathbb {Z} _{(2)}$  — кольцо дискретного нормирования, соответствующее $v$$v$ . Заметим, что ${\mathbb{Z}}_{(2)}$$\mathbb {Z} _{(2)}$  — локализация дедекиндова кольца $\mathbb{Z}$$\mathbb {Z}$  по простому идеалу $(2)$$(2)$ . Оказывается, что локализация любого дедекиндова кольца по ненулевому простому идеалу — кольцо дискретного нормирования.
• В качестве более геометричного примера возьмём кольцо рациональных функций, знаменатель которых не равен нулю в нуле, то есть функций, которые определены в некоторой окрестности нуля. Такие функции образуют кольцо дискретного нормирования, единственный неприводимый элемент — функция $x$$x$  (с точностью до взятия ассоциированных), а соответствующее нормирование рациональных функций — порядок нуля (возможно, нулевой или отрицательный) этой функции в нуле. Этот пример является стандартным для изучения алгебраической кривой в неособой точке; в данном случае, алгебраическая кривая — вещественная ось.
• Другой важный пример — кольцо формальных степенных рядов; здесь неприводимый элемент — ряд $x$$x$ , а нормирование — степень первого ненулевого коэффициента. Если ограничиться вещественными или комплексными коэффициентами, можно рассмотреть ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля — это по-прежнему кольцо дискретного нормирования.
• Кольцо p-адических чисел ${\mathbb{Z}}_p$$\mathbb {Z} _{p}$ .

ТопологияПравить

Любое кольцо дискретного нормирования естественным образом является топологическим кольцом, расстояние между элементами x и y задаётся следующим образом:

$|x-<!--\; -\; -->y|=2^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(x-<!--\; -\; -->y)}$$|x-y|=2^{-\nu (x-y)}$ 

(вместо 2 можно взять любое действительное число >1). Интуитивно, элемент мал (близок к нулю), если его норма велика.

Кольцо дискретного нормирования компактно тогда и только тогда, когда оно полно и поле вычетов R/m (m — максимальный идеал) конечно.

ЛитератураПравить

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Dummit, David S. & Fost2=Richard M. (2004), ISBN 978-0-471-43334-7