Квадрика

Ква́дрика, или квадри́ка,  — n-мерная гиперповерхность в n+1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x₁, x₂, ..., x_n+1} (в евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид

$\underset{i,j=1}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i{Q}_{ij}{x}_j+\underset{i=1}{\overset{n+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_i{x}_i+R=0.$$\sum _{{i,j=1}}^{{n+1}}x_{i}Q_{{ij}}x_{j}+\sum _{{i=1}}^{{n+1}}P_{i}x_{i}+R=0.$

Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:

$xQ{x}^T+P{x}^T+R=0$$xQx^{T}+Px^{T}+R=0$

где x = {x₁, x₂, ..., x_n+1} — вектор-строка, x^T — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.

Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.

Квадрики в евклидовом пространствеПравить

Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.

Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм. Из них 5 являются невырожденными (то есть матрица ${\begin{pmatrix}Q&{\dfrac {P^{T}}{2}}\\{\dfrac {P}{2}}&R\end{pmatrix}}$  является невырожденной). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.

Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве
Эллипсоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$
Эллиптический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->z=0$${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Гиперболический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->z=0$${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{c^2}=1$${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$
Двуполостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{c^2}=-<!--\; -\; -->1$${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1$

Аффинное и проективное пространствоПравить

Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве. Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид $x^2+y^2+z^2=1$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$  невозможно перевести движением в эллипсоид $2x^2+2y^2+2z^2=1$$2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1$ ).

От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты $(x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->x_{n+1}),$$(x_{1},x_{2},\ldots x_{{n+1}}),$  тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на $x_0,$$x_0,$  а свободный член на $x_0^2.$$x_{0}^{2}.$  Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид

$Q(x)=\underset{ij}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{ij}{x}_i{x}_j=0.$$Q(x)=\sum _{{ij}}a_{{ij}}x_{i}x_{j}=0.$ 

Без ограничения общности можно считать, что матрица $Q$$Q$  симметрична, то есть $a_{ij}=a_{ji}.$$a_{{ij}}=a_{{ji}}.$  Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.

В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду

$Q(x)=\pm <!--\; \pm \; -->x_0^2\pm <!--\; \pm \; -->x_1^2\pm <!--\; \pm \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\pm <!--\; \pm \; -->x_{n+1}^2$$Q(x)=\pm x_{0}^{2}\pm x_{1}^{2}\pm \cdots \pm x_{{n+1}}^{2}$ 

Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:

$Q(x)=\{\begin{array}{l}{x}_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ x_0^2+x_1^2+x_2^2-<!--\; -\; -->x_3^2\\ x_0^2+x_1^2-<!--\; -\; -->x_2^2-<!--\; -\; -->x_3^2\end{array}$$Q(x)={\begin{cases}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\\x_{0}^{2}+x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{cases}}$ 

Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.

Произношение терминаПравить

• В словарях приводятся различные ударения: квадри́ка («русское» произношение) и ква́дрика («иностранное» произношение).
• В разговорном языке используется произношение как квадри́ка (Калининградская геометрическая школа), так и ква́дрика. Не известно примеров другого произношения.

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.

См. такжеПравить

• Коническое сечение
• Коническая константа
• Кривая второго порядка
• Кубика
• Поверхность второго порядка
• Теорема Брианшона
• Теорема Паскаля
• Фигуры Лиссажу