Аффинное многообразие

Аффинное многообразие — гладкое многообразие, обладающее атласом, в котором все отображения склейки являются аффинным. Эквивалентно, многообразие является аффинным, если оно допускает плоскую связность без кручения.

Связанные определенияПравить

• Аффинное многообразие называется полным, если его универсальное накрытие гомеоморфно ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb {R} }^{n}$ .

• Фундаментальная группа компактного полного плоского аффинного многообразия называется аффинной кристаллографической группой. Классификация аффинных кристаллографических групп далека от решения.

ПримерыПравить

• ${\mathbb{S}}^n\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{S}}^1$$\mathbb {S} ^{n}\times \mathbb {S} ^{1}$  является фактором ${\mathbb{R}}^{n+1}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}$$\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$  по группе, образованной гомотетией $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->x$$x\mapsto 2\cdot x$ , следовательно, является компактным не полным аффинным многообразием.

ГипотезыПравить

В геометрии аффинных многообразий есть несколько древних гипотез. Большинство из них доказано в малой размерности и некоторых других особых случаях.

• Гипотеза Маркуса (1962), утверждает, что компактное аффинное многообразие является полным тогда и только тогда, когда оно имеет параллельную форму объёма.
• Гипотеза Ауслендера (1964), утверждает, что любая аффинная кристаллографическая группа содержит полициклическую подгруппу конечного индекса.
• Гипотеза Черна^[en] (1955), утверждает, что эйлерова характеристика любого компактного аффинного многообразия равна нулю.