Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A^{T}$ $A^{T}$ , полученная из исходной матрицы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ $A$ размеров $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $m\times n$ $m\times n$ — матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A^{T}$ $A^{T}$ размеров $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n\times m$ $n \times m$ , определённая как $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{ij}^{T}=A_{ji}$ $A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}}$ .

Например,

\text{[math]}

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{{{\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}

и

\text{[math]}

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{{{\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матрицПравить

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

\text{[math]}

(A^{T})^{T}=A

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

\text{[math]}

(A+B)^{T}=B^{T}+A^{T}

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

\text{[math]}

(AB)^{T}=B^{T}A^{T}

При транспонировании можно выносить скаляр.

\text{[math]}

(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

\text{[math]}

\det A=\det A^{T}

Связанные определенияПравить

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S^{T}=S$ .

Для того чтобы матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ была квадратной;
элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S_{ij}=S_{ji}$ .

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A^{T}=-A$ .

Для того чтобы матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

матрица $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ была квадратной;
элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{ij}=-A_{ji}$ .

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A_{ii}=0$ .

Для любой квадратной матрицы $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M$ имеется представление $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $M=S+A$ ,

где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S={\frac {M+M^{T}}{2}}$ — симметричная часть, $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A={\frac {M-M^{T}}{2}}$ — антисимметричная часть.

См. такжеПравить

Сопряжённо-транспонированная матрица