Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

$a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}{z}^2+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0$$a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0$

в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}$$a_{11}$, $a_{22}$$a_{{22}}$, $a_{33}$$a_{{33}}$, $a_{12}$$a_{{12}}$, $a_{23}$$a_{{23}}$, $a_{13}$$a_{{13}}$ отличен от нуля. Является частным случаем квадрики.

Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения

Типы поверхностей второго порядкаПравить

Цилиндрические поверхностиПравить

Поверхность $S$$S$  называется цилиндрической поверхностью с образующей $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$${\vec {l}}$ , если для любой точки $M_0$$M_{0}$  этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{l}$${\vec {l}}$ , целиком принадлежит поверхности $S$$S$ .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$$S$  имеет уравнение $f(x,y)=0$$f(x,y)=0$ , то $S$$S$  — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси $OZ$$OZ$ .

Кривая, задаваемая уравнением $f(x,y)=0$$f(x,y)=0$  в плоскости $z=0$$z=0$ , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$y^2=2px$$y^{2}=2px$	$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1$
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$	$y^2=0$$y^{2}=0$	$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0$

Конические поверхностиПравить

 

Коническая поверхность.

Основная статья: Коническая поверхность

Поверхность $S$$S$  называется конической поверхностью с вершиной в точке $O$$O$ , если для любой точки $M_0$$M_{0}$  этой поверхности прямая, проходящая через $M_0$$M_{0}$  и $O$$O$ , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция $F(x,y,z)$$F(x,y,z)$  называется однородной порядка $m$$m$ , если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}t\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x,y,z$$\forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z$  выполняется следующее: $F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$$F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$ 

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$$S$  задана уравнением $F(x,y,z)=0$$F(x,y,z)=0$ , где $F(x,y,z)$$F(x,y,z)$  — однородная функция, то $S$$S$  — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность $S$$S$  задана функцией $F(x,y,z)$$F(x,y,z)$ , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то $S$$S$  называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{c^2}=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$ 

Поверхности вращенияПравить

Поверхность $S$$S$  называется поверхностью вращения вокруг оси $OZ$$OZ$ , если для любой точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$$M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$  этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости $z=z_0$$z=z_{0}$  с центром в $(0,0,z_0)$$(0,0,z_{0})$  и радиусом $r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$$r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}$ , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$$S$  задана уравнением $F(x^2+y^2,z)=0$$F(x^{2}+y^{2},z)=0$ , то $S$$S$  — поверхность вращения вокруг оси $OZ$$OZ$ .

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:	Гиперболический параболоид:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{c^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{c^2}=-<!--\; -\; -->1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$	$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}=2z$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z$

В случае, если $a=b\ne <!--\; \ne \; -->0$$a=b\neq 0$ , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоидПравить

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z.$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.$ 

Если $a=b$$a=b$ , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой $p=a^2=b^2$$p=a^{2}=b^{2}$ , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью $z=z_0>0$$z=z_{0}>0$  является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью $x=x_0$$x=x_{0}$  или $y=y_0$$y=y_{0}$  является параболой.

Гиперболический параболоидПравить

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}=2z.$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z.$ 

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью $z=z_0$$z=z_{0}$  является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью $x=x_0$$x=x_{0}$  или $y=y_0$$y=y_{0}$  является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхностиПравить

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты $\left(x_0,y_0{z}_0\right)$$\left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)$  можно найти, решив систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_0+a_{12}{y}_0+a_{13}{z}_0+a_{14}=0\\ a_{21}{x}_0+a_{22}{y}_0+a_{23}{z}_0+a_{24}=0\\ a_{31}{x}_0+a_{32}{y}_0+a_{33}{z}_0+a_{34}=0\end{array}$${\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{0}+a_{34}=0\end{cases}}$ 

Матричный вид уравнения поверхности второго порядкаПравить

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

${\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0$ 

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0$ 

Если обозначить $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{T}$  , то уравнение приобретает следующий вид:

$X^{T}AX+2bX+a_{44}=0$$X^{T}AX+2bX+a_{44}=0$ 

ИнвариантыПравить

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

• Связанных с матрицей $A$$A$ :
  • $I_1=\mathrm{t}\mathrm{r}A$$I_{1}=\mathrm {tr} \,A$ 
  • $I_2={M_A}_{1,2}^{1,2}+{M_A}_{1,3}^{1,3}+{M_A}_{2,3}^{2,3}$$I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_{2,3}^{2,3}$ , где ${M_A}_{i,j}^{i,j}$${M_{A}}_{i,j}^{i,j}$  — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
  • $I_3=detA$$I_{3}=\det A$ 

• Связанных с блочной (расширенной) матрицей $B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}$ 
  • $K_2=\underset{i=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=i+1}{\overset{4}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{M_B}_{i,j}^{i,j}$$K_{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}$ 
  • $K_3=\underset{i=1}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=i+1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{k=j+1}{\overset{4}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{M_B}_{i,j,k}^{i,j,k}$$K_{3}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B}}_{i,j,k}^{i,j,k}$ 
  • $K_4=detB$$K_{4}=\det B$ 

Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.

При параллельном переносе системы координат величины $I_1,I_2,I_3,K_4$$I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}$  остаются неизменными. При этом:

• $K_3$$K_{3}$  остается неизменной только если $I_2=I_3=K_4=0$$I_{2}=I_{3}=K_{4}=0$ 
• $K_2$$K_{2}$  остается неизменной только если $I_2=I_3=K_4=K_3=0$$I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{3}=0$ 

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантовПравить

Поверхность	Уравнение	Инварианты
Эллипсоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$	$I_3\ne <!--\; \ne \; -->0$$I_{3}\neq 0$	$I_2>0,I_1{I}_3>0$$I_{2}>0,\quad I_{1}I_{3}>0$	$K_{4}<0$
Мнимый эллипсоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-<!--\; -\; -->1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$	$K_4>0$$K_{4}>0$
Точка	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+z^2=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0$	$K_4=0$$K_{4}=0$
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{c^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$	$I_2=0$$I_{2}=0$  или $I_1{I}_3\le <!--\; \le \; -->0$$I_{1}I_{3}\leq 0$	$K_4>0$$K_{4}>0$
Двуполостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{c^2}=-<!--\; -\; -->1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$	$K_{4}<0$
Конус	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->2z^2=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z^{2}=0$	$K_4=0$$K_{4}=0$
Эллиптический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->2z=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$	$I_3=0$$I_{3}=0$	$K_4\ne <!--\; \ne \; -->0$$K_{4}\neq 0$	$K_{4}<0$
Гиперболический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}-<!--\; -\; -->2z=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-2z=0$	$K_4>0$$K_{4}>0$
Эллиптический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$K_4=0$$K_{4}=0$	$I_2>0$$I_{2}>0$	$I_{1}K_{2}<0$
Мнимый эллиптический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-<!--\; -\; -->1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$	$I_1{K}_2>0$$I_{1}K_{2}>0$
Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей)	$\frac{x^2}{a^2}+y^2=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$	$K_2=0$$K_{2}=0$
Гиперболический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->\frac{y^2}{b^2}=1$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}<0$	$K_2\ne <!--\; \ne \; -->0$$K_{2}\neq 0$
Пара пересекающихся плоскостей	$\frac{x^2}{a^2}-<!--\; -\; -->y^2=0$${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$	$K_2=0$$K_{2}=0$
Параболический цилиндр	$y^2=2px$$y^{2}=2px$	$I_2=0$$I_{2}=0$	$K_2\ne <!--\; \ne \; -->0$$K_{2}\neq 0$
Пара параллельных плоскостей	$x^2-<!--\; -\; -->d^2=0$$x^{2}-d^{2}=0$	$K_2=0$$K_{2}=0$	$K_{1}<0$
Пара мнимых параллельных плоскостей	$x^2+d^2=0$$x^{2}+d^{2}=0$	$K_1>0$$K_{1}>0$
Плоскость	$x^2=0$$x^2=0$	$K_1=0$$K_{1}=0$

ЛитератураПравить

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2012. — 400 с.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.

См. такжеПравить

• Квадрика
• Поверхность вращения
• Сфера
• Цилиндрическая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид
• Поверхность Дарбу