Эрмитово-сопряжённая матрица

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}$ с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы $A$$A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Например, если:

$A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}$

то:

$A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}$.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.

Определения и обозначенияПравить

Если исходная матрица $A$$A$  имеет размер $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$ , то эрмитово-сопряжённая к $A$$A$  матрица $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}$  будет иметь размер $n\times <!--\; \times \; -->m$$n \times m$ , а её $(i,j)$$(i, j)$ -й элемент будет равен:

${\left(A^{\ast <!--\; \ast \; -->}\right)}_{ij}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A_{ji}}$$\left(A^{*}\right)_{ij}={\overline {A_{ji}}}$ ,

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}$$\overline{z}$  обозначает комплексно-сопряжённое число к $z$$z$  (сопряжённое число к $a+bi$$a + bi$  есть $a-<!--\; -\; -->bi$$a - bi$ , где $a$$a$  и $b$$b$  — вещественные числа).

Другая запись определения:

$A^{\ast <!--\; \ast \; -->}={\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\right)}^{\text{T}}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A^{\text{T}}}$$A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}$ .

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}$  или $A^H$$A^H$  (от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности, $A^{†<!--\; †\; -->}$$A^{\dagger}$  (в квантовой механике) и $A^{+}$$A^+$  (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).

Если матрица $A$$A$  состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}=A^T$$A^{*}=A^{T}$ , если $a_{ij}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$a_{ij}\in \mathbb {R}$ .

Для квадратных матриц существует набор связанных определений — $A$$A$  называется:

• эрмитовой, если $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}=A$$A^*= A$ ;
• антиэрмитовой или косоэрмитовой, если $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}=-<!--\; -\; -->A$$A^* = -A$ ;
• нормальной, если $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A=A{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^*A = AA^*$ ;
• унитарной, если $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A=A{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=I$$A^*A = AA^* = I$ , где $I$$I$  — единичная матрица.

Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.

СвойстваПравить

Взаимодействия с операциями матричной алгебры:

• $(A+B{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=A^{\ast <!--\; \ast \; -->}+B^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$(A + B)^* = A^* + B^*$  для любых двух матриц $A$$A$  и $B$$B$  одинаковых размеров;
• $(cA{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{c}{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$(cA)^* = \overline{c} A^*$  для любого комплексного скаляра $c\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}$$c \in \mathbb{C}$ ;
• $(AB{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=B^{\ast <!--\; \ast \; -->}{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$(AB)^* = B^* A^*$  для любых матриц $A$$A$  и $B$$B$ , таких, что определено их произведение $AB$$AB$  (в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный);
• $(A^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=A$$(A^*)^* = A$  для любой матрицы $A$$A$ .

Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.

Матрица $A$$A$  обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}$ ; при этом:

$(A^{\ast <!--\; \ast \; -->}{)}^{-<!--\; -\; -->1}=(A^{-<!--\; -\; -->1}{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$ 

$⟨<!--\; ⟨\; -->Ax,y⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->x,A^{\ast <!--\; \ast \; -->}y⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle$ 

для любой матрицы $A$$A$  размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$  и любых векторов $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n$$x \in \mathbb{C}^n$  и $y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^m$$y \in \mathbb{C}^m$ . Обозначение $⟨<!--\; ⟨\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle\cdot,\cdot\rangle$  обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.

Матрицы $A{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$AA^*$  и $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A$$A^*A$  являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы $A$$A$  (необязательно квадратной). Если $A$$A$  квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.