Нормальная матрица

Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица $A$$A$, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:

$A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A=A{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}A=AA^{*}$.

Для вещественной матрицы $A$$A$ имеет место $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}=A^T$$A^{*}=A^{T}$, и поэтому она нормальна, если $A^{T}A=A{A}^T$$A^{T}A=AA^{T}$.

Нормальность является удобным тестом приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица $A$$A$, удовлетворяющая уравнению $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A=A{A}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}A=AA^{*}$, допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы $A$$A$ и $B$$B$ называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица $S$$S$, для которой $A=S^{-<!--\; -\; -->1}BS$$A=S^{-1}BS$.)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например:

$A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку:

$AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A$.

Эквивалентные определенияПравить

Существует большой набор эквивалентных определений нормальной матрицы, в частности, следующие высказывания эквивалентны:

• $A$$A$  нормальна;
• $A$$A$  является приводимой к диагональной форме^[en] с помощью унитарной матрицы;
• все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы $A$$A$ ;
• $\Vert Ax\Vert =\Vert A^{\ast <!--\; \ast \; -->}x\Vert$$\left\|Ax\right\|=\left\|A^{*}x\right\|$  для любого $x$$x$ .
• норму Фробениуса матрицы $A$$A$  можно вычислить по собственным значениям матрицы $A$$A$ : $\mathrm{tr}<!--\; \; -->(A^{\ast <!--\; \ast \; -->}A)={\sum <!--\; \sum \; -->}_j|{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j{|}^2$$\operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}$ ;
• эрмитова часть $(A+A^{\ast <!--\; \ast \; -->})/2$$(A+A^{*})/2$  и косоэрмитова часть $(A-<!--\; -\; -->A^{\ast <!--\; \ast \; -->})/2$$(A-A^{*})/2$  матрицы $A$$A$  коммутируют;
• $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A^{*}$  является многочленом (степени менее $n$$n$  — размера матрицы) от $A$$A$ ;
• $A^{\ast <!--\; \ast \; -->}=AU$$A^{*}=AU$  для некоторой унитарной матрицы $U$$U$ .
• $U$$U$  и $P$$P$  коммутируют, где $U$$U$  и $P$$P$  представляют полярное разложение $A=UP$$A=UP$  на унитарную матрицу $U$$U$  и некую положительно определённую матрицу $P$$P$ ;
• $A$$A$  коммутирует с некоторой нормальной матрицей $N$$N$ , имеющей различные собственные значения;
• ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i=\left|{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_i\right|$$\sigma _{i}=\left|\lambda _{i}\right|$  для всех $1⩽<!--\; ⩽\; -->i⩽<!--\; ⩽\; -->n$$1 \leqslant i \leqslant n$ , где $A$$A$  имеет сингулярные собственные значения^[en] ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1⩾<!--\; ⩾\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_n$$\sigma _{1}\geqslant \dots \geqslant \sigma _{n}$  и собственные вектора $\left|{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1\right|⩾<!--\; ⩾\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->\left|{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n\right|$$\left|\lambda _{1}\right|\geqslant \dots \geqslant \left|\lambda _{n}\right|$ 
• операторная норма нормальной матрицы $A$$A$  равна числовому^[en] и спектральному радиусу^[en] матрицы $A$$A$ ; это означает:

  $\underset{\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->=1}{sup}\Vert <!--\; \Vert \; -->Ax\Vert <!--\; \Vert \; -->=\underset{\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->=1}{sup}|⟨<!--\; ⟨\; -->Ax,x⟩<!--\; ⟩\; -->|=max\{|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|:\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(A)\}$$\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|=\sup _{{\|x\|=1}}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}$ .

Многие из этих определений можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, но не все, например, ограниченный оператор, удовлетворяющий условию коммутируемости компонент полярного разложения, является в общем случае лишь квазинормальным^[en].

СвойстваПравить

Нормальная треугольная матрица диагональна.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей; однако если $A$$A$  и $B$$B$  нормальны и выполнено $AB=BA$$AB=BA$ , то и $AB$$AB$ , и $A+B$$A+B$  также нормальны. Более того, существует унитарная матрица $U$$U$ , такая, что $UA{U}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$UAU^{*}$  и $UB{U}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$UBU^{*}$  диагональны. Другими словами, $A$$A$  и $B$$B$  совместно приводимы к диагональной форме^[en].

В этом частном случае столбцы матрицы $U^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$U^{*}$  являются собственными векторами, как $A$$A$ , так и $B$$B$ , и образуют ортонормальный базис в ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C} ^{n}$ . Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду^[en] и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Связь со спектральной теоремойПравить

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема: матрица $A$$A$  нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$  и унитарная матрица $U$$U$ , такие что $A=U\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}{U}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$A=U\Lambda U^{*}$ . Диагональные элементы матрицы $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$  являются собственными числами, а столбцы $U$$U$  — собственными векторами матрицы $A$$A$ . (Собственные значения в $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$  идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в $U$$U$ ).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C} ^{n}$ . Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C} ^{n}$  и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C} ^{n}$ .

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть $A$$A$  — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, $B$$B$ . Если $A$$A$  нормальна, то и $B$$B$  нормальна тоже. Но тогда $B$$B$  должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

• нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости;
• нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ .

АналогииПравить

Можно рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналоги различных видов комплексных чисел:

• обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел;
• эрмитово-сопряжённая матрица является аналогом сопряжённого числа;
• Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной $1$$1$ ;
• эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел;
• эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел;
• антиэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел.

Можно комплексные числа вложить в нормальные вещественные матрицы размера $2\times <!--\; \times \; -->2$$2\times 2$  путём отображения:

$a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ ,

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение и все соответствующие аналогии между видами нормальных матриц и видами комплексных чисел.

СсылкиПравить

• Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 .