Букет пространств

Букет пространств  — пространство, полученное склейкой нескольких топологических пространств по одной точке.

ОпределениеПравить

Букет $X_1\vee <!--\; \vee \; -->X_2$$X_{1}\vee X_{2}$  двух пространств $X_1$$X_{1}$  и $X_2$$X_{2}$  с отмеченными точками $x_1\in <!--\; \in \; -->X_1$$x_{1}\in X_{1}$  и $x_2\in <!--\; \in \; -->X_2$$x_{2}\in X_{2}$   можно определить как факторпространство несвязного объединения  $X_1$$X_{1}$  и $X_2$$X_{2}$ 

$X_1\vee <!--\; \vee \; -->X_2=(X_1⨿<!--\; ⨿\; -->X_2)/\sim <!--\; \sim \; -->,$$X_{1}\vee X_{2}=(X_{1}\amalg X_{2})/{\sim },$ 

где $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что $x_1\sim <!--\; \sim \; -->x_2$$x_{1}\sim x_{2}$ .

Подобным образом определяется букет произвольного числа пространств с отмеченными точками $\{(X_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}},x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}){\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathcal{A}}$$\{(X_{\alpha },x_{\alpha })\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 

$\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\bigvee <!--\; \bigvee \; -->}{X}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\coprod <!--\; \coprod \; -->}{X}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}/\sim <!--\; \sim \; -->,$$\bigvee _{\alpha }X_{\alpha }=\coprod _{\alpha }X_{\alpha }/{\sim },$ 

где $\sim <!--\; \sim \; -->$$\sim$  обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\sim <!--\; \sim \; -->x_{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$x_{\alpha }\sim x_{\beta }$  для всех $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ .

ЗамечанияПравить

• Букет зависит от выбора отмеченных точек.
• Букет пространств сам естественным образом является пространством с отмеченной точкой.
• Как бинарная операция, построение букета является ассоциативным и коммутативным (с точностью до изоморфизма).

Описание через категорииПравить

Букет можно понимать как копроизведение в категории топологических пространств с отмеченной точкой. Кроме того, букет  можно рассматривать как кодекартов квадрат схемы X ← {•} → Y в категории топологических пространств, где {•} обозначает одноточечное пространство.

СвойстваПравить

• Если отмеченные точки допускают односвязные окрестности, то фундаментальная группа букета $X_1\vee <!--\; \vee \; -->X_2$$X_{1}\vee X_{2}$  изоморфна свободному произведению фундаментальных групп $X_1$$X_{1}$  и $X_2$$X_{2}$ . Это утверждение немедленно следует из теоремы ван Кампена.

См. такжеПравить

• Гавайская серьга — топологическое пространство, напоминающее букет счётного числа окружностей, но отличное от него.