Теорема Зейферта — ван Кампена

Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. 

Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

ФормулировкаПравить

Пусть $X$$X$  — топологическое пространство, $V,U\subset <!--\; \subset \; -->X$$V,U\subset X$  — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение $W=V\cap <!--\; \cap \; -->U$$W=V\cap U$  также линейно связно, и $X=V\cup <!--\; \cup \; -->U$$X=V\cup U$ . Зафиксируем точку $p\in <!--\; \in \; -->W$$p\in W$ . Заметим, что включения

$W\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->U,W\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->V,U\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->X,V\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->X$$W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X$ 

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

$I:<!--\; :\; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(W,p)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(U,p)$$I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)$ , $J:<!--\; :\; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(W,p)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(V,p)$$J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)$ , ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(U,p)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,p)$$\pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(V,p)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,p)$$\pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)$ .

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,p)={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(U,p){\ast <!--\; \ast \; -->}_{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(W,p)}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(V,p).$$\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).$ 

ЗамечанияПравить

• Если даны задания групп ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(U,p)$$\pi _{1}(U,p)$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(V,p)$$\pi _{1}(V,p)$ 

  ${\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\end{aligned}}$ 

и $w_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,w_s$$w_{1},\cdots ,w_{s}$  — образующие группы ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(W,p)$$\pi _{1}(W,p)$ , то

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,p)=⟨u_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,u_k,v_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,v_m|{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_l,{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n,I(w_1)J(w_1{)}^{-<!--\; -\; -->1},\cdots <!--\; \cdots \; -->,I(w_p)J(w_p{)}^{-<!--\; -\; -->1}⟩.$$\pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .$ 

СледствияПравить

• Если пересечение $W$$W$  односвязно, то

  ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X,p)={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(U,p)\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(V,p),$$\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),$ 

то есть фундаментальна группа $X$$X$  изоморфна свободному произведению фундаментальных групп $U$$U$  и $V$$V$ .

• В частности,

${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X_1\vee <!--\; \vee \; -->X_2)={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X_1)\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X_2),$$\pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),$ 

для букета $X_1\vee <!--\; \vee \; -->X_2$$X_{1}\vee X_{2}$  связных и локально односвязных пространств $X_1$$X_{1}$  и $X_2$$X_{2}$ .

• Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
  • Например сферу $X=S^2$$X=S^{2}$  можно покрыть двумя дисками $U=S^2\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}\{n\}$$U=S^{2}\backslash \{n\}$  и $V=S^2\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}\{s\}$$V=S^{2}\backslash \{s\}$ , где $n$$n$  и $s$$s$  обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение $W=V\cap <!--\; \cap \; -->U=S^2\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}\{n,s\}$$W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}$  связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа $W$$W$  также тривиальна.

Вариации и обобщенияПравить

• Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если $W$$W$  не связно.
• Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.

СсылкиПравить

• В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — М.: МЦНМО, 2004. — 352 с.
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.