Пара топологических пространств

Пара топологических пространств — упорядоченная пара $(X,A)$$(X,A)$ где $X$$X$ — топологическое пространство, а $A$$A$ — подпространство (с топологией подпространства).

Отображение пар $f:<!--\; :\; -->(X,A)\to <!--\; \to \; -->(Y,B)$$f\colon (X,A)\to (Y,B)$ определяется как отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ такое, что $f(A)\subset <!--\; \subset \; -->B$$f(A)\subset B$.

Понятие топологической пары удобно для определения относительных гомологий $H_k(X,Y)$$H_{k}(X,Y)$, для которых как раз требуется, чтобы $Y$$Y$ вкладывалось в $X$$X$. Для хороших пространств (например, если $Y$$Y$ — клеточный подкомплекс клеточного комплекса $X$$X$) выполнено равенство $H_k(X,Y)\simeq <!--\; \simeq \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{H}(X/Y)=H(X/Y,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}).$$H_{k}(X,Y)\simeq {\overline {H}}(X/Y)=H(X/Y,\varnothing ).$

СвойстваПравить

• Существует функтор из пространств в пары, который отображает пространство $X$$X$  в пару $(X,\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->})$$(X,\varnothing )$  ,

Относительные гомологииПравить

Основная статья: Относительные гомологии^[en]

Если дана пара топологических пространств $(X,Y)$$(X,Y)$ , то для любой теории гомологий можно рассмотреть группу относительных цепей $C_k(X)/C_k(Y)$$C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ . Тогда гомологии полученного цепного комплекса обозначают $H_k(X,Y)$$H_{k}(X,Y)$  и называют гомологиями пары.

Понятие относительных гомологий позволяет построить так называемую длинную точную последовательность пары:

$$\dots <!--\; \dots \; -->⟵<!--\; ⟵\; -->H_{k-<!--\; -\; -->1}(Y)\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}}{⟵<!--\; ⟵\; -->}{H}_k(X,Y)⟵<!--\; ⟵\; -->H_k(X)⟵<!--\; ⟵\; -->H_k(Y)\stackrel{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\ast <!--\; \ast \; -->}}{⟵<!--\; ⟵\; -->}{H}_{k+1}(X,Y)⟵<!--\; ⟵\; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$

 

Вариации и обобщенияПравить

Родственным понятием является понятие тройки $(X,A,B)$$(X,A,B)$ , где $B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$B\subseteq A\subseteq X$ . Тройки используются в теории гомотопий. Часто для пространств с отмеченной точкой $x_0$$x_{0}$  тройку записывают как $(X,A,B,x_0)$$(X,A,B,x_{0})$ , где $x_0\in <!--\; \in \; -->B\subseteq <!--\; \subseteq \; -->A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$x_{0}\in B\subseteq A\subseteq X$ .

ЛитератураПравить

• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — 1971.
• М.Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. — МИАН, 2006. — (Лекционные курсы НОЦ). — ISBN 5-98419-013-3.