Группоид (теория категорий)

Не следует путать с магмой — ранее также называвшейся группоидом.

Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе $G$$G$, имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента $g$$g$ из $G$$G$, композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

В то время как повороты кубика Рубика составляют группу (с точки зрения теории категорий — изоморфизмы в категории с одним объектом), ходы в пятнашках можно сопоставить морфизмам соответствующего группоида (объектами являются положения головоломки), поскольку ход можно сделать не из всякого положения.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории $C$$C$ группоидом является подкатегория $D\hookrightarrow <!--\; \hookrightarrow \; -->C$$D\hookrightarrow C$, объекты которой совпадают с объектами $C$$C$, а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в $C$$C$.

Для линейно связного топологического пространства $X$$X$ определяется его фундаментальный группоид ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_1(X)$$\Pi _{1}(X)$ как 2-категория, объектами которой являются все точки из $X$$X$, а стрелки из $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ в $y\in <!--\; \in \; -->X$$y\in X$ соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из $x$$x$ в $y$$y$:

$f:<!--\; :\; -->[0;1]\to <!--\; \to \; -->X,f(0)=x,f(1)=y$$f\colon [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y$.

Две функции $f$$f$ и $g$$g$ задают один и тот же путь, если существует $s:[0;1]\to <!--\; \to \; -->[0;1]$$s:[0;1]\to [0;1]$, так что $f=g\circ <!--\; \circ \; -->s$$f=g\circ s$ или $g=f\circ <!--\; \circ \; -->s$$g=f\circ s$. Композиция стрелок задаётся композицией путей:

$fg(t)=\{\begin{array}{l}f(2t),0⩽<!--\; ⩽\; -->t⩽<!--\; ⩽\; -->1/2\\ g(2t-<!--\; -\; -->1),1/2⩽<!--\; ⩽\; -->t⩽<!--\; ⩽\; -->1\end{array}$$fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}$.

2-морфизм из $f$$f$ в $g$$g$ — это гомотопия из $f$$f$ в $g$$g$. Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта $x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}_1(X)$$x\in \Pi _{1}(X)$.

Категория векторных расслоений ранга $n$$n$ над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие джерба^[en] (который является частным случаем стека^[en]), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий $H^2(X,\mathcal{G})$$H^{2}(X,{\mathcal {G}})$, где $\mathcal{G}$${\mathcal {G}}$ — пучок групп на $X$$X$. Понятие особенно важно в случае неабелевых групп $\mathcal{G}$${\mathcal {G}}$.

ЛитератураПравить

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.