Ортогональная матрица

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица $A$$A$ с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу $A^T$$A^{T}$ равен единичной матрице:

$A{A}^T=A^{T}A=E,$$AA^{{T}}=A^{{T}}A=E,$

или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:

$A^{-<!--\; -\; -->1}=A^T.$$A^{-1}=A^{T}.$

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Ортогональная матрица с определителем $+1$$+1$ называется специальной ортогональной.

СвойстваПравить

• Ортогональная матрица является унитарной ($Q^{-<!--\; -\; -->1}=Q^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$Q^{-1}=Q^{*}$ ) и, следовательно, нормальной ($Q^{\ast <!--\; \ast \; -->}Q=Q{Q}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$Q^{*}Q=QQ^{*}$ ).
• Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_{ij}{A}_{ik}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}$$\sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}$ 

и

$\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_{ji}{A}_{ki}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}$$\sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}$ 

где $i\in <!--\; \in \; -->\{1,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}$$i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}$ , $n$$n$  — порядок матрицы, а ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{jk}$$\delta _{{jk}}$  — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.

• Определитель ортогональной матрицы равен $\pm <!--\; \pm \; -->1$$\pm 1$ , что следует из свойств определителей:

  $1=det(E)=det(A^{T}A)=det(A^T)det(A)=det(A)det(A)=det(A{)}^2=1.$$1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}=1.$ 

• Множество ортогональных матриц порядка $n$$n$  над полем $k$$k$  образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается $O_n(k)$$O_{n}(k)$  или $O(n,k)$$O(n,\;k)$  (если $k$$k$  опускается, то предполагается $k=\mathbb{R}$$k=\mathbb{R}$ ).
• Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
• Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной.
• Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

$(\pm <!--\; \pm \; -->1)$$(\pm 1)$  и ${\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.$ 

ПримерыПравить

• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$  — единичная матрица

• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$ 

• ${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$  — пример матрицы поворота

• ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$  — пример перестановочной матрицы

• ${\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{pmatrix}}$  — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера

См. такжеПравить

• Унитарная матрица
• Ортогональное преобразование
• Ортогональная группа
• Специальная ортогональная группа